Soit une courbe quartique réelle lisse dans , qui admet au moins trois branches réelles . On pose et soit . On note l’application de sur la composante neutre Jac de l’ensemble des points réels de la jacobienne de , définie en posant comme étant la classe du diviseur . Alors, est bijective. On montre que cela permet une description géométrique explicite de la loi de groupe sur Jac. Cela généralise la description géométrique classique de la loi de groupe sur la composante neutre de l’ensemble des points réels de la jacobienne d’une cubique. Si la quartique est définie sur un corps de nombres réel, alors on obtient une description géométrique d’un sous-groupe du groupe de Mordell-Weil d’indice un diviseur de .
Let be a smooth real quartic curve in . Suppose that has at least real branches . Let and let . Let be the map from into the neutral component Jac of the set of real points of the jacobian of , defined by letting be the divisor class of the divisor . Then, is a bijection. We show that this allows an explicit geometric description of the group law on Jac. It generalizes the classical geometric description of the group law on the neutral component of the set of real points of the jacobian of a cubic curve. If the quartic curve is defined over a real number field then one gets a geometric description of a subgroup of its Mordell-Weil group of index a divisor of .
@article{JTNB_2002__14_1_249_0, author = {Huisman, Johan}, title = {A group law on smooth real quartics having at least $3$ real branches}, journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux}, pages = {249--256}, publisher = {Universit\'e Bordeaux I}, volume = {14}, number = {1}, year = {2002}, mrnumber = {1926001}, zbl = {1019.14014}, language = {en}, url = {http://archive.numdam.org/item/JTNB_2002__14_1_249_0/} }
TY - JOUR AU - Huisman, Johan TI - A group law on smooth real quartics having at least $3$ real branches JO - Journal de théorie des nombres de Bordeaux PY - 2002 SP - 249 EP - 256 VL - 14 IS - 1 PB - Université Bordeaux I UR - http://archive.numdam.org/item/JTNB_2002__14_1_249_0/ LA - en ID - JTNB_2002__14_1_249_0 ER -
Huisman, Johan. A group law on smooth real quartics having at least $3$ real branches. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 14 (2002) no. 1, pp. 249-256. http://archive.numdam.org/item/JTNB_2002__14_1_249_0/
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