Transcendance des valeurs des fonctions automorphes sur $ℌ\times ℌ$

Derome, Geoffroy

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 15 (2003) no. 3, pp. 683-696.

Soit $\Gamma$ un groupe arithmétique agissant proprement discontinument sur $ℌ\times ℌ$ de covolume fini. On sait que l’espace $\Gamma \setminus ℌ\times ℌ$ est isomorphe à l’ensemble des points complexes d’une variété algébrique quasi-projective $V_{\Gamma }$ définie sur $\overline{\mathbb{Q}}$. Soit $J_{\Gamma }$ : $ℌ\times ℌ\to V_{\Gamma }\left(ℂ\right)$ une application holomorphe invariante par l’action de $\Gamma$ et correctement normalisée. Grâce au résultats obtenus par P. Cohen, H. Shiga et J. Wolfart, on sait que $J_{\Gamma }(z_1,z_2)\notin V_{\Gamma }\left(\overline{\mathbb{Q}}\right)$ si $z=(z_1,z_2)$ est un point algébrique non spécial de $ℌ\times ℌ$. Dans cet article, nous allons montrer que nous avons $J_{\Gamma }(z_1,z_2)\notin V_{\Gamma }\left(\overline{\mathbb{Q}}\right)$ si $z_1$ et $z_2$ sont deux éléments de $ℌ$, l’un étant algébrique et l’autre transcendant.

Let $\Gamma$ be an arithmetic group acting properly discontinuously on the product of two copies of the poincaré upper space $ℌ\times ℌ$ with finite covolume. One knows that the space $\Gamma \setminus ℌ\times ℌ$ is isomorphic to the set of complex points of a quasi-projective variety $V_{\Gamma }$ defined over $\overline{\mathbb{Q}}$. Let $J_{\Gamma }:ℌ\times ℌ\to V_{\Gamma }\left(ℂ\right)$ be an holomorphic mapping invariant under $\Gamma$ and properly normalized. Thanks to P. Cohen, H. Shiga and J. Wolfart’s results, one knows that $J_{\Gamma }(z_1,z_2)\notin V_{\Gamma }\left(\overline{\mathbb{Q}}\right)$ if $z=(z_1,z_2)$ is an algebraic non special point of $ℌ\times ℌ$.In the present article, we shall show, that we have $J_{\Gamma }(z_1,z_2)\notin V_{\Gamma }\left(\overline{\mathbb{Q}}\right)$ if $z_1$ and $z_2$ are two elements of $ℌ$ one of which is algebraic, the other transcendental.

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