La relation linéaire $a=b+c+\cdots +t$ entre les racines d’un polynôme

Lalande, Franck

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 19 (2007) no. 2, pp. 473-484.

Nous nous intéressons à la question suivante : À quelles conditions un groupe $G$ est-il le groupe de Galois (principalement sur le corps des rationnels) d’un polynôme irréductible dont certaines racines distinctes vérifient une relation linéaire du type $a=b+c+\cdots +t$ ? Nous montrons que la relation $a=b+c$ est possible dès que $G$ contient un sous-groupe d’ordre $6$, nous décrivons les groupes abéliens pour lesquels la relation $a=b+c+d$ est satisfaite et construisons une famille de relations $a=b+c+\cdots +t$ de longueur $1+(m-2)(m-3)/2$ pour le groupe alterné $A_m$. Chaque partie est accompagnée d’exemples.

We are going to deal with the following question: Which groups can be the Galois group of an irreducible polynomial with rational coefficients whose distinct roots satisfy a linear relation $a=b+c+\cdots +t$? We are going to show that the relation $a=b+c$ is possible when $G$ contains a subgroup of order $6$, describe the abelian groups for which the relation $a=b+c+d$ is possible and construct a family of relations $a=b+c+\cdots +t$ of length $1+(m-2)(m-3)/2$ for the alternating group $A_m.$

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