Two remarks on the inverse Galois problem for intersective polynomials
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 21 (2009) no. 2, p. 435-437

A (monic) polynomial f(x)[x] is called intersective if the congruence f(x)0 mod m has a solution for all positive integers m. Call f(x) nontrivially intersective if it is intersective and has no rational root. It was proved by the author that every finite noncyclic solvable group G can be realized as the Galois group over of a nontrivially intersective polynomial (noncyclic is a necessary condition). Our first remark is the observation that the corresponding result for nonsolvable G reduces to the ordinary inverse Galois problem for G over . The second remark has to do with the scarcity of explicit examples of nontrivial intersective polynomials with given Galois group, and gives the first known example for the dihedral group of order ten.

Un polynôme (unitaire) f(x)[x] est dit intersectif si la congruence f(x)0 mod m a des solutions pour tout entier positif m. On dit que f(x) est non-trivialement intersectif s’il est intersectif et n’a pas de racine rationnelle. L’auteur a prouvé que tout groupe fini G, résoluble non cyclique, peut être réalisé comme groupe de Galois sur d’un polynôme non-trivialement intersectif (non cyclique est une condition nécessaire). Notre premiere remarque est l’observation que le résultat correspondant pour les groupes non-résolubles G se ramène au problème de Galois inverse ordinaire pour G sur . La seconde remarque concerne la rareté d’exemples explicites de polynômes non-trivialement intersectifs de groupe de Galois donné, et nous donnons le premier exemple connu pour le groupe dihédral d’ordre dix.

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Sonn, Jack. Two remarks on the inverse Galois problem for intersective polynomials. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 21 (2009) no. 2, pp. 435-437. doi : 10.5802/jtnb.680. http://www.numdam.org/item/JTNB_2009__21_2_435_0/

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