Let be a prime number and be a number field. Since Iwasawa’s works, the behaviour of the -part of the ideal class group in the -extensions of has been well understood. Moreover, M. Grandet and J.-F. Jaulent gave a precise result about its abelian -group structure.
On the other hand, the ideal class group of a number field may be identified with the torsion part of the of its ring of integers. The even -groups of rings of integers appear as higher versions of the class group. Many authors have already studied the behaviour of the higher even -groups in a -extension. Here, we prove that Grandet and Jaulent’s result on class group still holds for higher even -groups in the cyclotomic -extension.
Soit un nombre premier et un corps de nombres. Depuis les travaux d’Iwasawa, le comportement de la -partie du groupe des classes d’idéaux dans une -extension de est assez bien compris. M. Grandet et J.-F. Jaulent ont en outre donné un résultat précis concernant sa structure de groupe abélien.
Par ailleurs, le groupe des classes d’idéaux s’interprête comme la partie de torsion du de l’anneau des entiers de . Les -groupes pairs de l’anneau des entiers peuvent être vus comme des versions supérieures du groupe des classes et le comportement de ces -groupes dans les -extensions a déjà été étudié par de nombreux auteurs. Dans cet article, nous montrons que le résultat de Grandet et Jaulent sur les groupes de classes est encore vrai pour les -groupes pairs dans la -extension cyclotomique.
@article{JTNB_2009__21_2_439_0, author = {Validire, Romain}, title = {Capitulation for even $K$-groups in the cyclotomic $\mathbb{Z}_p$-extension.}, journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux}, pages = {439--454}, publisher = {Universit\'e Bordeaux 1}, volume = {21}, number = {2}, year = {2009}, doi = {10.5802/jtnb.681}, mrnumber = {2541436}, language = {en}, url = {http://archive.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.681/} }
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Validire, Romain. Capitulation for even $K$-groups in the cyclotomic $\mathbb{Z}_p$-extension.. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 21 (2009) no. 2, pp. 439-454. doi : 10.5802/jtnb.681. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.681/
[AM] J. Assim & A. Movahhedi, Bounds for étale Capitulation Kernels. -theory, 33 (2004), 199–213. | MR | Zbl
[Ba] G. Banaszak, Generalization of the Moore exact sequence and the wild kernel for higher -groups. Compositio Math., 86 (1993), 281–305. | EuDML | Numdam | MR | Zbl
[DF] W. Dwyer & E. Friedlander, Algebraic and étale -theory. Trans. Amer. Soc. 247 (1985), 247–280. | MR | Zbl
[FW] B. Ferrero & L. Washington, The Iwasawa invariant vanishes for abelian number fields. Ann. Math. 109 (1979), 377–395. | MR | Zbl
[GJ] M. Grandet & J.-F. Jaulent, Sur la capitulation dans les -extensions. J. reine angew. Math. 362, 213–217. | EuDML | MR | Zbl
[Iw] K. Iwasawa, On -extensions of algebraic number fields. Ann. Math. 98 (1973), 243–326. | MR | Zbl
[J1] J.-F. Jaulent, Sur le noyau sauvage des corps de nombres. Acta Arith. 67 (1994), no.4, 335–348. | EuDML | MR | Zbl
[J2] J.-F. Jaulent, Théorie -adique globale du corps de classes. J. Théor. Nombres Bordeaux 10 (1998), 355–397. | EuDML | Numdam | MR | Zbl
[JM] J.-F. Jaulent & A. Michel, Approche logarithmique des noyaux étales sauvages des corps de nombres. J. Number Theory 120 (2006), no. 1, 72–91. | MR | Zbl
[Ka] B. Kahn, Descente galoisienne et des corps de nombres. -theory 7 (1993), 55–100. | MR | Zbl
[KC] K. Krammer & A. Candiotti, On and extensions of number fields. Amer. J. Math. 100 (1978), 177–196. | MR | Zbl
[KM] M. Kolster & A. Movahhedi, Galois co-descent for étale wild kernels and capitulation. Ann. Inst. Fourier 50 (2000), 35–65. | Numdam | MR | Zbl
[Ko] M. Kolster, -theory and arithmetic. Contemporary developments in algebraic -theory, ICTP Lect. Notes, XV, Abdus Salam Int. Cent. Theoret. Phys. Trieste, (2004). | MR | Zbl
[Ku] L. V. Kuz’min, The Tate module for algebraic number fields. Math. USSR Izv.,6, No. 2 (1972), 263–361. | MR | Zbl
[LMN] M. Le Floc’h, A. Movahhedi & T. Nguyen Quang Do, On capitulation cokernels in Iwasawa theory. Amer. Journal of Mathematics, 127 (2005), 851–877. | MR | Zbl
[N1] T. Nguyen Quang Do, Sur la -torsion de certains modules galoisiens. Ann. Inst. Fourier 36, no. 2 (1986), 27–46. | Numdam | MR | Zbl
[N2] T. Nguyen Quang Do, Analogues supérieurs du noyau sauvage. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux 4 (1992), 263–271. | Numdam | MR | Zbl
[N3] T. Nguyen Quang Do, Théorie d’Iwasawa des noyaux sauvages étales d’un corps de nombres. Publications Math. de la Faculté des Sciences de Besançon (2002). | Zbl
[NSW] J. Neukirch, A. Schmidt & K. Wingberg, Cohomology of number fields. Springer Verlag, Berlin (2000). | MR | Zbl
[S] P. Schneider, Über gewisse Galoiscohomologiegruppen. Math. Z. 168, 181–205 (1979). | MR | Zbl
[Ta] J. Tate, Relations between and Galois cohomology. Invent. Math. 36 (1976), 257–274. | MR | Zbl
[V] R. Validire, Capitulation des noyaux sauvages étales. Thèse de l’Université de Limoges, (2008).
[W] C. Weibel, Algebraic -theory of rings of integers in local and global fields. Handbook of -theory Vol. 1, 2, 139–190, Springer, Berlin, (2005). | MR | Zbl
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