Propriétés de l’intégrale de Cauchy Harish-Chandra pour certaines paires duales d’algèbres de Lie  [ Properties of the Cauchy Harish-Chandra integral for some dual pairs of Lie algebras ]
Mémoires de la Société Mathématique de France, no. 93 (2003), 143 p.

We consider a symplectic group 𝑆𝑝 and an irreductible dual pair (𝐺,𝐺 ' ) in 𝑆𝑝 in the sense of R. Howe. Let 𝔤 (resp. 𝔤 ' ) be the Lie algebra of 𝐺 (resp. 𝐺 ' ). T. Przebinda has defined a map 𝐂𝐡𝐜, called the Cauchy Harish-Chandra integral from the space of smooth compactly supported functions of 𝔤 to the space of functions defined on the open set 𝔤 'reg of semisimple regular elements of 𝔤 ' . We prove that these functions are invariant integrals if 𝐺 and 𝐺 ' are linear groups and behave locally like invariant integrals if 𝐺 and 𝐺 ' are unitary groups of same rank. In this last case, we obtain the jump relations up to a multiplicative constant which only depends on the dual pair.

On considère un groupe symplectique 𝑆𝑝 et une paire duale réductive et irréductible (𝐺,𝐺 ' ) de 𝑆𝑝 au sens de R. Howe. On désigne par 𝔤 (resp. 𝔤 ' ) les algèbres de Lie de 𝐺 (resp. 𝐺 ' ). T. Przebinda définit une application appelée intégrale de Cauchy Harish-Chandra et notée 𝐂𝐡𝐜 qui associe à toute fonction de 𝒟(𝔤) une fonction définie sur 𝔤 'reg , l’ouvert des éléments semi-simples réguliers. Dans cet article, on montre que ces fonctions sont des intégrales invariantes si la paire est de type II et possèdent les propriétés locales des intégrales invariantes si la paire est formée de groupes unitaires de même rang. Les relations de saut sont alors obtenues à une constante multiplicative près.

DOI : https://doi.org/10.24033/msmf.406
Classification:  22E46
Keywords: Unitary group, orbital integral, theta correspondence
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Bernon, Florent. Propriétés de l’intégrale de Cauchy Harish-Chandra pour certaines paires duales d’algèbres de Lie. Mémoires de la Société Mathématique de France, Serie 2, , no. 93 (2003), 143 p. doi : 10.24033/msmf.406. http://www.numdam.org/item/MSMF_2003_2_93__1_0/

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