Une conjecture de Lusztig pour les groupes classiques  [ A conjecture of Lusztig for classical groups ]
Mémoires de la Société Mathématique de France, no. 96 (2004), 172 p.

For a classical group defined over a finite field of sufficiently large characteristic, we prove a conjecture of Lusztig connecting characters of irreducible representations with characteristic functions of character-sheaves. Those functions are precisely normalized in the proof. Our result generalizes Shoji’s results to all classical groups. We consider in particular the even orthogonal group, that is neither connected nor with connected center.

Pour un groupe classique défini sur un corps fini de caractéristique assez grande, on prouve une conjecture de Lusztig reliant les caractères des représentations irréductibles aux fonctions traces des faisceaux-caractères. La preuve inclut une normalisation précise de ces dernières fonctions. Cela généralise des résultats de Shoji à tous les groupes classiques, en particulier au groupe orthogonal pair qui n’est ni connexe, ni à centre connexe.

DOI : https://doi.org/10.24033/msmf.409
Classification:  11E57,  20C33
Keywords: Classical groups, representations, character sheaves, symbols, Lusztig conjecture
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Waldspurger, Jean-Loup. Une conjecture de Lusztig pour les groupes classiques. Mémoires de la Société Mathématique de France, Serie 2, , no. 96 (2004), 172 p. doi : 10.24033/msmf.409. http://www.numdam.org/item/MSMF_2004_2_96__1_0/

[1] T. Asai« Unipotent class functions of split special orthogonal groups SO 2n + over finite fields », Comm. Algebra 12 (1984), p. 517–615. | MR 735137 | Zbl 0545.20028

[2] C. Bonnafé et R. Rouquier« Catégories dérivées et vériétés de Deligne-Lusztig », Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 97 (2003), p. 1–59. | Numdam | MR 2010739

[3] R. CarterFinite groups of Lie type ; conjugacy class and complex characters, Wiley Interscience Publ., 1993. | MR 1266626

[4] C. Curtis et I. ReinerMethods of representation theory, with applications to finite groups and orders, vol. 1, Wiley Interscience, 1981. | MR 632548

[5] F. Digne et J. MichelRepresentations of finite groups of Lie type, London Math. Soc. student texts, vol. 21, Cambridge Univ. Press, 1991. | MR 1118841 | Zbl 0815.20014

[6] —, « Groupes réductifs non connexes », Ann. scient. Éc. Norm. Sup. 4 e série 27 (1994), p. 345–406. | MR 1272294

[7] M. Eftekhari« Faisceaux caractères sur les groupes non connexes », J. Algebra 184 (1996), p. 516–537. | MR 1409226

[8] G. Lusztig« On the finiteness of the number of unipotent classes », Invent. Math. 34 (1976), p. 201–213. | MR 419635 | Zbl 0371.20039

[9] —, « Irreductible representations of finite classical groups », Invent. Math. 43 (1977), p. 125–175. | MR 463275

[10] —, « Unipotent characters of the even orthogonal groups over a finite field », Trans. Amer. Math. Soc. 272 (1982), p. 733–751. | MR 662064 | Zbl 0491.20034

[11] —, « Intersection cohomology complexes on a reductive group », Invent. Math. 75 (1984), p. 205–272. | MR 732546 | Zbl 0547.20032

[12] —, « Character sheaves II », Adv. in Math. 57 (1985), p. 226–265. | MR 806210 | Zbl 0586.20019

[13] —, « Character sheaves V », Adv. in Math. 61 (1986), p. 103–155. | MR 849848 | Zbl 0602.20036

[14] —, « On the representations of reductive groups with disconnected center », in Orbites unipotentes et représentations I, Astérisque, vol. 168, Société Mathématique de France, Paris, 1988, p. 157–166.

[15] —, « Green functions and character sheaves », Ann. of Math. 131 (1990), p. 355–408. | MR 1043271 | Zbl 0695.20024

[16] —, « A unipotent support for irreducible representations », Adv. in Math. 94 (1992), p. 139–179. | MR 1174392 | Zbl 0789.20042

[17] —, « Remarks on computing irreductible characters », J. Amer. Math. Soc. 5 (1992), p. 971–986. | MR 1157292 | Zbl 0773.20011

[18] C. Moeglin« Représentations quadratiques unipotentes des groupes classiques p-adiques », Duke Math. J. 84 (1996), p. 267–332. | MR 1404331 | Zbl 0864.22008

[19] C. Moeglin et J.-L. Waldspurger« Paquets stables de représentations tempérées et de réduction unipotente pour SO(2n+1) », Invent. Math. 152 (2003), p. 461–623. | MR 1988295 | Zbl 1037.22036

[20] T. Shoji« Character sheaves and almost characters of reductive groups I et II », Adv. in Math. 111 (1995), p. 244–313 et 314–354. | MR 1318530 | Zbl 0832.20065

[21] —, « Unipotent characters of finite classical groups », in Finite reductive groups (Luminy 1994), Progress in Math., vol. 141, Birkhäuser, 1997. | Zbl 0868.20035

[22] J.-L. WaldspurgerIntégrales orbitales nilpotentes et endoscopie pour les groupes classiques non ramifiés, Astérisque, vol. 269, Société Mathématique de France, Paris, 2001. | MR 1817880

[23] A. ZelevinskyRepresentations of finite classical groups, Lect. Notes in Math., vol. 869, Springer, 1981. | MR 643482