On Sums of Sixteen Biquadrates
Mémoires de la Société Mathématique de France, no. 100 (2005) , 126 p.

By 1939 it was known that 13792 cannot be expressed as a sum of sixteen biquadrates (folklore), that there exist infinitely many natural numbers which cannot be written as sums of fifteen biquadrates (Kempner) and that every sufficiently large integer is a sum of sixteen biquadrates (Davenport). In this memoir it is shown that every integer larger than 10 216 and not divisible by 16 can be represented as a sum of sixteen biquadrates. Combined with a numerical study by Deshouillers, Hennecart and Landreau, this result implies that every integer larger than 13792 is a sum of sixteen biquadrates.

En 1939, on savait que 13792 ne peut pas être représenté comme somme de seize bicarrés (folklore), qu’il existe une infinité d’entiers qui ne peuvent pas être écrits comme sommes de quinze bicarrés (Kempner) et que tout entier assez grand est somme de seize bicarrés (Davenport). Dans ce mémoire, on montre que tout entier supérieur à 10 216 et non divisible par 16 peut s’exprimer comme somme de seize bicarrés. Combiné à une étude numérique menée par Deshouillers, Hennecart et Landreau, ce résultat implique que tout entier supérieur à 13792 est somme de seize bicarrés.

DOI: 10.24033/msmf.413
Classification: 11P05, 11P55, 11D45, 11D85, 11L15, 11N56
Keywords: Waring’s problem, circle method, Weyl sums, multiplicative functions, Diophantine equations
Mot clés : Problème de Waring, méthode du cercle, sommes de Weyl, fonctions multiplicatives, équations diphantiennes
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Deshouillers, Jean-Marc; Kawada, Koichi; Wooley, Trevor D. On Sums of Sixteen Biquadrates. Mémoires de la Société Mathématique de France, Serie 2, no. 100 (2005), 126 p. doi : 10.24033/msmf.413. http://numdam.org/item/MSMF_2005_2_100__1_0/

[1] T.M. ApostolIntroduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York, 1976. | MR | Zbl

[2] R. Balasubramanian« On Waring’s problem: g(4)20 », Hardy-Ramanujan J. 8 (1985), p. 1–40. | MR | Zbl

[3] R. Balasubramanian, J.-M. Deshouillers & F. Dress« Problème de Waring pour les bicarrés, 1: Schéma de la solution », C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 303 (1986), p. 85–88. | MR | Zbl

[4] —, « Problème de Waring pour les bicarrés, 2: résultats auxiliaires pour le théorème asymptotique », C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 303 (1986), p. 161–163. | MR | Zbl

[5] H. Davenport« On Waring’s problem for fourth powers », Ann. of Math. 40 (1939), p. 731–747. | MR | JFM

[6] J.-M. Deshouillers« Le problème de Waring pour les bicarrés », in Sém. Th. Nb. Bordeaux, 1984/85, exp. 14. | MR | EuDML

[7] —, « Sur la majoration de sommes de Weyl biquadratiques », Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4) 19 (1992), p. 291–304. | MR | EuDML | Numdam

[8] J.-M. Deshouillers & F. Dress« Sommes de diviseurs et structures multiplicatives des entiers », Acta Arith. 49 (1988), p. 341–375. | MR | EuDML | Zbl

[9] —, « Sums of 19 biquadrates: On the representation of large integers », Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4) 19 (1992), p. 113–153. | MR | EuDML | Zbl | Numdam

[10] —, « Numerical results for sums of five and seven biquadrates and consequences for sums of 19 biquadrates », Math. Comp. 61 (1993), p. 195–207. | MR | Zbl

[11] J.-M. Deshouillers, F. Hennecart, K. Kawada, B. Landreau & T.D. WooleySurvey (in preparation).

[12] J.-M. Deshouillers, F. Hennecart & B. Landreau« Waring’s problem for sixteen biquadrates – Numerical results », J. Théor. Nombres Bordeaux 12 (2000), p. 411–422. | MR | EuDML | Zbl | Numdam

[13] G.H. Hardy & J.E. Littlewood« Some problems in “Partitio Numerorum” (VI): Further researches on Waring’s problem », Math. Z. 23 (1925), p. 1–37. | MR | EuDML | JFM

[14] A.E. InghamThe Distribution of Prime Numbers, Cambridge University Press, Cambridge, 1992. | MR | Zbl

[15] K. Kawada & T.D. Wooley« Sums of fourth powers and related topics », J. reine angew. Math. 512 (1999), p. 173–223. | MR | Zbl

[16] B. Landreau« Moyennes de fonctions arithmétiques sur des suites de faible densité », Thèse 3e cycle, Université Bordeaux I, 1987.

[17] K.S. Mccurley« Explicit estimates for θ(x;3,l) and ψ(x;3,l) », Math. Comp. 42 (1984), p. 287–296. | MR | Zbl

[18] V.I. Nečaev & V.L. Topunov« Estimation of the modulus of complete rational trigonometric sums of degree three and four », Trudy Mat. Inst. Steklov. 158 (1981), p. 125–129, 229, Russian. | MR | Zbl

[19] J.B. Rosser & L. Schoenfeld« Approximate formulas for some functions of prime numbers », Illinois J. Math. 6 (1962), p. 64–94. | MR | Zbl

[20] H.E. Thomas, Jr.« A numerical approach to Waring’s problem for fourth powers », Thèse, University of Michigan, 1973. | MR

[21] R.C. VaughanThe Hardy-Littlewood method, 2nd éd., Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1997. | MR | Zbl

Cited by Sources: