On Sums of Sixteen Biquadrates
Mémoires de la Société Mathématique de France, no. 100 (2005), 126 p.

By 1939 it was known that 13792 cannot be expressed as a sum of sixteen biquadrates (folklore), that there exist infinitely many natural numbers which cannot be written as sums of fifteen biquadrates (Kempner) and that every sufficiently large integer is a sum of sixteen biquadrates (Davenport). In this memoir it is shown that every integer larger than 10 216 and not divisible by 16 can be represented as a sum of sixteen biquadrates. Combined with a numerical study by Deshouillers, Hennecart and Landreau, this result implies that every integer larger than 13792 is a sum of sixteen biquadrates.

En 1939, on savait que 13792 ne peut pas être représenté comme somme de seize bicarrés (folklore), qu’il existe une infinité d’entiers qui ne peuvent pas être écrits comme sommes de quinze bicarrés (Kempner) et que tout entier assez grand est somme de seize bicarrés (Davenport). Dans ce mémoire, on montre que tout entier supérieur à 10 216 et non divisible par 16 peut s’exprimer comme somme de seize bicarrés. Combiné à une étude numérique menée par Deshouillers, Hennecart et Landreau, ce résultat implique que tout entier supérieur à 13792 est somme de seize bicarrés.

DOI : https://doi.org/10.24033/msmf.413
Classification:  11P05,  11P55,  11D45,  11D85,  11L15,  11N56
Keywords: Waring’s problem, circle method, Weyl sums, multiplicative functions, Diophantine equations
@book{MSMF_2005_2_100__1_0,
     author = {Deshouillers, Jean-Marc and Kawada, Koichi and Wooley, Trevor D.},
     title = {On Sums of Sixteen Biquadrates},
     series = {M\'emoires de la Soci\'et\'e Math\'ematique de France},
     publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
     number = {100},
     year = {2005},
     doi = {10.24033/msmf.413},
     zbl = {1080.11066},
     mrnumber = {2142186},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/item/MSMF_2005_2_100__1_0}
}
Deshouillers, Jean-Marc; Kawada, Koichi; Wooley, Trevor D. On Sums of Sixteen Biquadrates. Mémoires de la Société Mathématique de France, Serie 2, , no. 100 (2005), 126 p. doi : 10.24033/msmf.413. http://www.numdam.org/item/MSMF_2005_2_100__1_0/

[1] T.M. ApostolIntroduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York, 1976. | MR 434929 | Zbl 0335.10001

[2] R. Balasubramanian« On Waring’s problem: g(4)20 », Hardy-Ramanujan J. 8 (1985), p. 1–40. | MR 876604 | Zbl 0604.10027

[3] R. Balasubramanian, J.-M. Deshouillers & F. Dress« Problème de Waring pour les bicarrés, 1: Schéma de la solution », C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 303 (1986), p. 85–88. | MR 853592 | Zbl 0594.10039

[4] —, « Problème de Waring pour les bicarrés, 2: résultats auxiliaires pour le théorème asymptotique », C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 303 (1986), p. 161–163. | MR 854724 | Zbl 0594.10040

[5] H. Davenport« On Waring’s problem for fourth powers », Ann. of Math. 40 (1939), p. 731–747. | JFM 65.1149.02 | MR 253

[6] J.-M. Deshouillers« Le problème de Waring pour les bicarrés », in Sém. Th. Nb. Bordeaux, 1984/85, exp. 14. | MR 848372

[7] —, « Sur la majoration de sommes de Weyl biquadratiques », Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4) 19 (1992), p. 291–304. | Numdam | MR 1197215

[8] J.-M. Deshouillers & F. Dress« Sommes de diviseurs et structures multiplicatives des entiers », Acta Arith. 49 (1988), p. 341–375. | MR 937932 | Zbl 0645.10038

[9] —, « Sums of 19 biquadrates: On the representation of large integers », Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4) 19 (1992), p. 113–153. | Numdam | MR 1183760 | Zbl 0769.11035

[10] —, « Numerical results for sums of five and seven biquadrates and consequences for sums of 19 biquadrates », Math. Comp. 61 (1993), p. 195–207. | MR 1201766 | Zbl 0879.11052

[11] J.-M. Deshouillers, F. Hennecart, K. Kawada, B. Landreau & T.D. WooleySurvey (in preparation).

[12] J.-M. Deshouillers, F. Hennecart & B. Landreau« Waring’s problem for sixteen biquadrates – Numerical results », J. Théor. Nombres Bordeaux 12 (2000), p. 411–422. | Numdam | MR 1823193 | Zbl 0972.11093

[13] G.H. Hardy & J.E. Littlewood« Some problems in “Partitio Numerorum” (VI): Further researches on Waring’s problem », Math. Z. 23 (1925), p. 1–37. | JFM 51.0148.01 | MR 1544728

[14] A.E. InghamThe Distribution of Prime Numbers, Cambridge University Press, Cambridge, 1992. | MR 1074573 | Zbl 0715.11045

[15] K. Kawada & T.D. Wooley« Sums of fourth powers and related topics », J. reine angew. Math. 512 (1999), p. 173–223. | MR 1703079 | Zbl 1005.11046

[16] B. Landreau« Moyennes de fonctions arithmétiques sur des suites de faible densité », Thèse 3e cycle, Université Bordeaux I, 1987.

[17] K.S. Mccurley« Explicit estimates for θ(x;3,l) and ψ(x;3,l) », Math. Comp. 42 (1984), p. 287–296. | MR 726005 | Zbl 0535.10044

[18] V.I. Nečaev & V.L. Topunov« Estimation of the modulus of complete rational trigonometric sums of degree three and four », Trudy Mat. Inst. Steklov. 158 (1981), p. 125–129, 229, Russian. | MR 662840 | Zbl 0525.10019

[19] J.B. Rosser & L. Schoenfeld« Approximate formulas for some functions of prime numbers », Illinois J. Math. 6 (1962), p. 64–94. | MR 137689 | Zbl 0122.05001

[20] H.E. Thomas, Jr.« A numerical approach to Waring’s problem for fourth powers », Thèse, University of Michigan, 1973. | MR 2623171

[21] R.C. VaughanThe Hardy-Littlewood method, 2nd éd., Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1997. | MR 1435742 | Zbl 0868.11046