Measured quantum groupoids
Mémoires de la Société Mathématique de France, no. 109 (2007), 166 p.

In this volume, we give a definition for measured quantum groupoids. We want to get objects with duality extending both quantum groups and groupoids. We base ourselves on J. Kustermans and S. Vaes’ works about locally compact quantum groups that we generalize thanks to formalism introduced by M. Enock and J.M. Vallin in the case of inclusion of von Neumann algebras. From a structure of Hopf-bimodule with left and right invariant operator-valued weights, we define a fundamental pseudo-multiplicative unitary. To get a satisfying duality in the general case, we assume the existence of an antipode given by its polar decomposition. This theory is illustrated with many examples among others inclusion of von Neumann algebras (M. Enock) and a sub family of measured quantum groupoids with easier axiomatic.

Dans cet volume, on définit une notion de groupoïdes quantiques mesurés. On cherche à obtenir des objets munis d’une dualité qui étend celle des groupoïdes et des groupes quantiques. On s’appuie sur les travaux de J. Kustermans et S. Vaes concernant les groupes quantiques localement compacts qu’on généralise grâce au formalisme introduit par M. Enock et J.M. Vallin à propos des inclusions d’algèbres de von Neumann. À partir d’un bimodule de Hopf muni de poids opératoriels invariants à gauche et à droite, on définit un unitaire pseudo-multiplicatif fondamental. Pour obtenir une dualité satisfaisante dans le cas général, on suppose l’existence d’une antipode définie par sa décomposition polaire. Cette théorie est illustrée dans une dernière partie par de nombreux exemples notamment les inclusions d’algèbres de von Neumann (M. Enock) et une sous famille de groupoïdes quantiques mesurés à l’axiomatique plus simple.

DOI : https://doi.org/10.24033/msmf.421
Classification:  46LXX
Keywords: Quantum groupoids; antipode; pseudo-multiplicative unitary
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Lesieur, Franck. Measured quantum groupoids. Mémoires de la Société Mathématique de France, Serie 2, , no. 109 (2007), 166 p. doi : 10.24033/msmf.421. http://www.numdam.org/item/MSMF_2007_2_109__1_0/

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