[Crystalline and de Rham -adic representations in the relative case]
We define and study the notions of de Rham and crystalline smooth -adic sheaves over “suitable” -adic bases. To do this, we introduce -adic period rings (analogous to those of J.-M. Fontaine), which are used to associate differential invariants to them. In the good reduction case, we obtain a fully faithful functor from the category of crystalline smooth -adic sheaves in that of filtred -isocrystals on the special fiber.
On définit et étudie les notions de faisceaux -adiques lisses de de Rham et cristallins sur des bases -adiques « convenables ». On introduit pour cela des anneaux de périodes -adiques (analogues à ceux de J.-M. Fontaine), qui permettent de leur associer des invariants de nature différentielle. Dans le cas de bonne réduction, on obtient un foncteur pleinement fidèle de la catégorie des faisceaux -adiques lisses cristallins dans celle des -isocristaux filtrés sur la fibre spéciale.
Mot clés : Représentations galoisiennes, périodes $p$-adiques, cohomologie galoisienne, cohomologie cristalline, $F$-cristaux
Keywords: Galois representations, $p$-adic periods, Galois cohomology, crystalline cohomology, $F$-crystals
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Brinon, Olivier. Représentations $p$-adiques cristallines et de de Rham dans le cas relatif. Mémoires de la Société Mathématique de France, Serie 2, no. 112 (2008), 165 p. doi : 10.24033/msmf.424. http://numdam.org/item/MSMF_2008_2_112__1_0/
[1] « Generalized -modules », Ann. Sci. École Norm. Sup., série 39 (2006), p. 599–647. | MR | EuDML | Zbl | Numdam
–[2] « Acyclicité géométrique de », Prépublication.
& –[3] —, « Représentations -adiques surconvergentes : le cas relatif », in Représentations -adiques de groupes -adiques I : représentations galoisiennes et -modules, Astérisque, vol. 319, 2008.
[4] « Crystalline comparison isomorphisms for formal schemes », Prépublication. | Zbl
& –[5] « Global applications of relative -modules. I », in Représentations -adiques de groupes -adiques I : représentations galoisiennes et -modules, Astérisque, vol. 319, 2008. | Zbl | Numdam | MR
& –[6] « Équations différentielles -adiques et -modules filtrés », Prépublication.
–[7] —, « Représentations -adiques et équations différentielles », Invent. Math. 148 (2002), p. 219–284. | MR
[8] —, An introduction to the theory of -adic representations, Geometric Aspects of Dwork Theory, DeGruyter, 2004.
[9] Cohomologie cristalline des schémas de caractéristique , Lecture Notes in Math., vol. 407, Springer Verlag, 1974. | MR | Zbl
–[10] « Théorie de Dieudonné cristalline. III. Théorèmes d’équivalence et de pleine fidélité », in The Grothendieck Festschrift, vol.I, Progr. Math., vol. 86, Birkhaüser, 1990, p. 173–247. | MR | Zbl
& –[11] Notes on crystalline cohomology, Math. Notes, vol. 21, Princeton University Press, 1978. | MR | Zbl
& –[12] Algèbre commutative, Chapitre 5, 1985. | Zbl
–[13] —, Algèbre commutative, Chapitre 10, 1998.
[14] « Une généralisation de la théorie de Sen », Math. Ann. 327 (2003), p. 793–813. | MR
–[15] —, « Représentations cristallines dans le cas d’un corps résiduel imparfait », Ann. Inst. Fourier 56 (2006), p. 919–999. | MR | EuDML | Numdam
[16] Algebraic Number Theory, 1967. | MR | Zbl
& –[17] « Représentations -adiques surconvergentes », Invent. Math. 133 (1998), p. 581–611. | MR | Zbl
& –[18] « Les conjectures de monodromie -adique », Sém. Bourbaki, année 897 (2001-2002). | MR | EuDML | Numdam
–[19] —, « Espaces de Banach de dimension finie », J. Inst. Math. Jussieu 1 (2002), p. 331–439. | MR | Zbl
[20] « Construction des représentations -adiques semi-stables », Invent. Math. 140 (2000), p. 1–43. | MR
& –[21] « Théorie de Hodge II », Publ. Math. IHÉS 40 (1971). | MR | EuDML | Zbl | Numdam
–[22] —, Cohomologie étale (SGA 4), vol. 569, Springer Verlag, 1977.
[23] « Tannakian categories », in Hodge cycles, motives and Shimura varieties, Lecture Notes in Math., vol. 900, Springer Verlag, 1982. | MR | Zbl
& –[24] « -adic Hodge theory », J. Amer. Math. Soc. 1 (1988), p. 255–299. | MR | Zbl
–[25] —, « Crystalline cohomology and -adic Galois-representations », in Algebraic analysis, geometry, and number theory, Johns Hopkins Univ. Press, 1989, p. 25–80. | Zbl
[26] —, « Almost étale extensions », in Cohomologies -adiques et applications arithmétiques. II, Astérisque, vol. 279, Société Mathématique de France, 2002, p. 185–270. | Zbl | Numdam
[27] « Formes différentielles et modules de Tate des variétés abéliennes sur les corps locaux », Invent. Math. 65 (1982), p. 379–409. | MR | EuDML | Zbl
–[28] —, « Représentations -adiques des corps locaux. I », in The Grothendieck Festschrift, vol. II, Progr. Math., vol. 87, 1991, p. 249–309.
[29] —, « Le corps des périodes -adiques », in Périodes -adiques, Astérisque, vol. 223, Société Mathématique de France, 1994, p. 59–111.
[30] —, « Représentations -adiques semi-stables », in Périodes -adiques, Astérisque, vol. 223, Société Mathématique de France, 1994, p. 113–184.
[31] —, « Analyse -adique et représentation galoisiennes », Proceedings of the ICM Pékin I (2002), p. 139–148.
[32] —, « Arithmétique des représentations galoisiennes -adiques », in Cohomologies -adiques et applications arithmétiques. III, Astérisque, vol. 295, Société Mathématique de France, 2004, p. 1–115.
[33] « -adic periods and -adic étale cohomology », Contemp. Math. 67 (1987). | MR | Zbl
& –[34] « Le corps des normes de certaines extensions algébriques de corps locaux », Compte Rendu Acad. Sci. Paris 288 (1979), p. 367–370. | MR | Zbl
& –[35] « EGA III, Étude cohomologique des faisceaux cohérents, première partie », Publ. Math. IHÉS 11 (1961).
–[36] —, « EGA IV, Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, tome1 », Publ. Math. IHÉS 20 (1964).
[37] —, « EGA IV, Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, tome2 », Publ. Math. IHÉS 24 (1965).
[38] —, « EGA IV, Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, tome4 », Publ. Math. IHÉS 32 (1967).
[39] —, Revêtements étales et groupe fondamental (SGA1), Documents Mathématiques, vol. 3, Société Mathématique de France, 2003.
[40] « On the Hodge-Tate decomposition in the imperfect residue field case », Crelle 365 (1987), p. 97–113. | MR | EuDML | Zbl
–[41] —, « On variation of Hodge-Tate structures », Math. Ann. 283 (1989), p. 7–22. | EuDML | Zbl
[42] « Continuous étale cohomology », Math. Ann. 280 (1988), p. 207–245. | MR | EuDML | Zbl
–[43] « Nilpotent connections and the monodromy theorem : applications of a result of Turrittin », Publ. Math. IHÉS 39 (1970), p. 175–232. | MR | EuDML | Zbl | Numdam
–[44] —, « Slope filtration of -crystals », in Journées de géométrie algébrique de Rennes, I, Astérisque, vol. 63, Société Mathématique de France, 1979, p. 113–163. | MR | Zbl | Numdam
[45] « Crystalline representations and -crystals », in Algebraic Geometry and Number Theory, Prog. Math., vol. 253, Birkhäuser, 2006, p. 459–496. | MR | Zbl
–[46] Commutative ring theory, Cambridge University Press, 1986. | MR
–[47] « On Faltings’ method of almost étale extensions », Prépublication. | Zbl
–[48] Anneaux locaux henséliens, Lecture Notes in Math., vol. 169, Springer Verlag, 1970. | MR | Zbl
–[49] « Lie algebras of Galois groups arising from Hodge-Tate modules », Ann. of Math. 97 (1973), p. 160–170. | MR | Zbl
–[50] —, « Continuous cohomology and -adic Galois representations », Invent. Math. 62 (1980), p. 89–116. | MR | EuDML | Zbl
[51] Corps locaux (3 éd.), 1968. | MR
–[52] —, Cohomologie Galoisienne (5 éd.), Lecture Notes in Math., vol. 5, Springer Verlag, 1997.
[53] « -divisible groups », in Proceedings of a conference on local fields, Springer Verlag, 1967, p. 158–183. | MR
–[54] —, « Relations between and Galois cohomology », Invent. Math. 36 (1976), p. 257–274. | MR | EuDML | Zbl
[55] « -adic étale cohomology and crystalline cohomology in the semi-stable reduction case », Invent. Math. 137 (1999), p. 233–411. | MR | Zbl
–[56] « Slope filtration of quasi-unipotent overconvergent -isocrystals », Ann. Inst. Fourier 48 (1998), p. 379–412. | MR | EuDML | Zbl | Numdam
–[57] « Théorème de comparaison -adique pour les schémas abéliens. I. Construction de l’accouplement de périodes », in Périodes -adiques, Astérisque, vol. 223, Société Mathématique de France, 1994, p. 349–397. | MR | Numdam
–Cited by Sources: