The overconvergent site
Mémoires de la Société Mathématique de France, no. 127 (2011), 114 p.
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We prove that rigid cohomology can be computed as the cohomology of a site analogous to the crystalline site. Berthelot designed rigid cohomology as a common generalization of crystalline and Monsky-Washnitzer cohomology. Unfortunately, unlike the former, the functoriality of the theory is not built-in. We define the “overconvergent site” which is functorially attached to an algebraic variety. We prove that the category of modules of finite presentation on this ringed site is equivalent to the category of overconvergent isocrystals on the variety. We also prove that their cohomology coincides.

Nous montrons que la cohomologie rigide peut se calculer comme la cohomologie d’un site analogue au site cristallin. Berthelot a conçu la cohomologie rigide comme une généralisation commune de la cohomologie cristalline et de la cohomologie de Monsky-Washnitzer. Malheureusement, contrairement à ce qui se passe en cohomologie cristalline, la fonctorialité de la théorie ne résulte pas directement des définitions. Nous introduisons donc le « site surconvergent » qui est fonctoriellement attaché à une variété algébrique. Nous montrons que la catégorie des modules de présentation finie sur ce site annelé est équivalent à la catégorie des isocristaux surconvergents sur la variété. Nous montrons aussi que leurs cohomologies coïncident.

DOI : https://doi.org/10.24033/msmf.438
Classification:  14F30
Keywords: overconvergent, isocrystal, rigid, crystal, cohomology
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Le Stum, Bernard. The overconvergent site. Mémoires de la Société Mathématique de France, Serie 2, , no. 127 (2011), 114 p. doi : 10.24033/msmf.438. http://www.numdam.org/item/MSMF_2011_2_127__1_0/

[1] Théorie des topos et cohomologie étale des schémas. Tome 3. Springer-Verlag, Berlin, 1973. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie 1963–1964 (SGA 4), Dirigé par M. Artin, A. Grothendieck et J. L. Verdier. Avec la collaboration de P. Deligne et B. Saint-Donat, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 305.

[2] Vladimir G. Berkovich. Spectral theory and analytic geometry over non-Archimedean fields, volume 33 of Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 1990. | MR 1070709

[3] Vladimir G. Berkovich. Étale cohomology for non-Archimedean analytic spaces. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math., (78):5–161 (1994), 1993. | Numdam | MR 1259429 | Zbl 0804.32019

[4] Vladimir G. Berkovich. Vanishing cycles for formal schemes. Invent. Math., 115(3):539–571, 1994. | MR 1262943 | Zbl 0791.14008

[5] Vladimir G. Berkovich. p-adic analytic spaces. In Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Berlin, 1998), number Extra Vol. II, pages 141–151 (electronic), 1998. | MR 1648064 | Zbl 0949.14010

[6] Vladimir G. Berkovich. Smooth p-adic analytic spaces are locally contractible. Invent. Math., 137(1):1–84, 1999. | MR 1702143 | Zbl 0930.32016

[7] Pierre Berthelot. Cohomologie cristalline des schémas de caractéristique p>0. Springer-Verlag, Berlin, 1974. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 407. | MR 384804 | Zbl 0298.14012

[8] Pierre Berthelot. Cohomologie rigide et cohomologie à support propre, seconde partie. Incomplete, 1983. | Zbl 0515.14015

[9] Pierre Berthelot. Géométrie rigide et cohomologie des variétés algébriques de caractéristique p. Mém. Soc. Math. France (N.S.), (23):3, 7–32, 1986. Introductions aux cohomologies p-adiques (Luminy, 1984). | Numdam | MR 865810 | Zbl 0606.14017

[10] Pierre Berthelot. Cohomologie rigide et cohomologie à support propre, première partie. Prépublication de l’IRMAR, 96(03):89, 1996.

[11] Amnon Besser. A generalization of Coleman’s p-adic integration theory. Invent. Math., 142(2):397–434, 2000. | MR 1794067 | Zbl 1053.14020

[12] Amnon Besser. Syntomic regulators and p-adic integration. I. Rigid syntomic regulators. In Proceedings of the Conference on p-adic Aspects of the Theory of Automorphic Representations (Jerusalem, 1998), volume 120, pages 291–334, 2000. | MR 1809626 | Zbl 1001.19003

[13] Siegfried Bosch, Ulrich Güntzer, and Reinhold Remmert. Non-Archimedean analysis, volume 261 of Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Springer-Verlag, Berlin, 1984. A systematic approach to rigid analytic geometry. | MR 746961 | Zbl 0539.14017

[14] David Brown. Rigid cohomology of algebraic stacks. PhD thesis, University of California, 2010.

[15] Bruno Chiarellotto. Espaces de Berkovich et équations différentielles p-adiques. Une note. Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 103:193–209, 2000. | Numdam | MR 1789539 | Zbl 0974.12014

[16] Bruno Chiarellotto and Nobuo Tsuzuki. Cohomological descent of rigid cohomology for étale coverings. Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 109:63–215, 2003. | Numdam | MR 1997987 | Zbl 1167.14306

[17] Antoine Ducros. Étude de certaines propriétés locales et globales des espaces de Berkovich. Prépublication de l’IRMAR, 03(41):59, 2003.

[18] Jean-Yves Étesse and Bernard Le Stum. Fonctions L associées aux F-isocristaux surconvergents. I. Interprétation cohomologique. Math. Ann., 296(3):557–576, 1993. | MR 1225991 | Zbl 0789.14015

[19] Pierre Gabriel and Michel Zisman. Calculus of fractions and homotopy theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 35. Springer-Verlag New York, Inc., New York, 1967. | MR 210125 | Zbl 0186.56802

[20] Jean Giraud. Cohomologie non abélienne. Springer-Verlag, Berlin, 1971. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 179. | MR 344253 | Zbl 0226.14011

[21] Alexander Grothendieck. Crystals and the de Rham cohomology of schemes. In Dix Exposés sur la Cohomologie des Schémas, pages 306–358. North-Holland, Amsterdam, 1968. | MR 269663

[22] Masaki Kashiwara and Pierre Schapira. Sheaves on manifolds, volume 292 of Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Springer-Verlag, Berlin, 1990. With a chapter in French by Christian Houzel. | MR 1074006 | Zbl 0709.18001

[23] Bernard Le Stum. Rigid cohomology, volume 172 of Cambridge Tracts in Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 2007. | MR 2358812 | Zbl 1131.14001

[24] Paul Monsky and Gerard Washnitzer. Formal cohomology. I. Ann. of Math. (2), 88:181–217, 1968. | MR 248141 | Zbl 0162.52504

[25] Arthur Ogus. The convergent topos in characteristic p. In The Grothendieck Festschrift, Vol. III, volume 88 of Progr. Math., pages 133–162. Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1990. | MR 1106913 | Zbl 0728.14020

[26] Michel Raynaud and Laurent Gruson. Critères de platitude et de projectivité. Techniques de “platification” d’un module. Invent. Math., 13:1–89, 1971. | MR 308104 | Zbl 0227.14010

[27] Michael Temkin. On local properties of non-Archimedean analytic spaces. Math. Ann., 318(3):585–607, 2000. | MR 1800770 | Zbl 0972.32019

[28] Michael Temkin. On local properties of non-Archimedean analytic spaces. II. Israel J. Math., 140:1–27, 2004. | MR 2054837 | Zbl 1066.32025