La philosophie mathématique de Roger Apéry

Ageron, Pierre

Philosophia Scientiae, Tome 9 (2005) no. S2, pp. 233-256.

Pour qui s'intéresse à la philosophie des mathématiques, Roger Apéry (1916-1994) incarne le défenseur de la mathématique constructive et l'adversaire résolu du formalisme et du bourbakisme. On sait moins qu'il est aussi l'un des premiers universitaires français à avoir fait la promotion de la théorie des catégories, pourtant hautement structuraliste et souvent jugée comme très formelle. L'objectif principal de notre étude est de préciser les conditions historiques et la teneur philosophique du double enthousiasme d'Apéry, afin de vérifier la cohérence d'une pensée libre, originale et attachante.

For anybody interested in philosophy of mathematics, Roger Apéry (1916-1994) is well known for advocating constructive mathematics and for being a resolute opponent to formalism and Bourbakism. It is less known that he was also one of the first French academics to promote category theory, in spite of its highly structural and formal nature. This study attempts to trace the historical conditions and philosophical content of Apéry's double enthusiasm, in order to check the consistance of a free, original and attaching thought.

[1] Ageron, Pierre 2002.- L'autre axiome du choix, Revue d'histoire des mathématiques, 8, 113-140. | Numdam | MR | Zbl

[2] Ageron, Pierre 2004.- Albert Burroni dans l'école d'Ehresmann, à paraître

[3] Apéry, François 1996.- Roger Apéry, 1916-1994 : A radical Mathematician, The Mathematical Intelligencer, 18, 54-61. Aussi disponible sur Internet accompagné d'une traduction française par P. Karila et M. Saunier à l'adresse réticulaire http://peccatte.karefil.com/PhilMathsTextes/Apéry.html | MR | Zbl

[4] Apéry, François 1998.- Un mathématicien radical, Mulhouse : autoédition, 1998, 176 p. La liste d'écrits de Roger Apéry qui suit cherche à l'exhaustivité pour ceux qui présentent un caractère plus ou moins philosophique. Les cours, notes et mémoires strictement mathématiques n'y figurent que dans la mesure où ils sont en lien avec la problématique des structures.

[5] Apéry, Roger 1943.- La géométrie algébrique, Bulletin de la société mathématique de France, 71, 46-66. | Numdam | MR | Zbl

[6] Apéry, Roger 1948.- interventions lors des discussions sur «  Logique et dialectique  » et «  Métaphysique et dialectique  », in Comptes-rendus des deuxièmes entretiens de Zurich, Dialectica 2 [= fasc. 6], 60-61 et 110-111. Réédité dans : Pouvoir de l'esprit sur le réel : les deuxièmes entretiens de Zurich sur l'idée de dialectique, Neuchâtel : éditions du Griffon, 1948.

[7] Apéry, Roger 1949.- Axiomes et postulats, in Proceedings of the tenth international congress of philosophy (Amsterdam, August 11-18, 1948), ed. by E. W. Beth, H. J. Pos and J. H. A. Hollak, vol. I, Amsterdam : North-Holland, 1949, 708-710. | MR

[8] Apéry, Roger 1950.- Quelques propriétés des anneaux, in Algèbre et théorie des nombres (Paris, 25 septembre - 1er octobre 1949), dir. A. Châtelet et P. Dubreil, Colloques internationaux du CNRS, Paris : CNRS, 1950, 107-108. | MR | Zbl

[9] Apéry, Roger 1951.- Le rôle de l'intuition en mathématiques, in Congrès international de philosophie des sciences (Paris, 17-22 octobre 1949), dir. R. Bayer, vol. III - Philosophie mathématique. Mécanique, Paris : Hermann, 1951, 85-88.

[10] Apéry, Roger 1952.- Les mathématiques sont-elles une théorie pure ?, in Comptes-rendus des troisièmes entretiens de Zurich, Dialectica 6 [= fasc. 24], 309-310. | MR

[11] Apéry, Roger 1954.- Neutralität oder Bindung, in Wissenschaft und Freiheit (Hamburg, 23.-26. Juli 1953), Berlin : Grunevald Verlag, 1954, 252-255.

[12] Apéry, Roger 1956.- allocution à l'occasion du centenaire de la naissance d'Henri Poincaré prononcée à Caen le 20 mai 1954, in Oeuvres de H. Poincaré, t. XI, livre du centenaire, Paris : Gauthier-Villars, 1956, 147-153.

[13] Apéry, Roger 1957.- interventions après des conférences de R. Martin et D. Lacombe, in Notion de structure et structure de la connaissance (Paris, 18-27 avril 1956), dir. Centre international de synthèse, Paris : Albin Michel, 1957, 34-36, 124-126 et 129-133.

[14] Apéry, Roger 1962.- Structures algébriques, groupes, architecture des groupes, Paris : Centre de documentation universitaire, 1962, 64 p.

[15] Apéry, Roger 1967.- Ordinaux transfinis, Séminaire de théorie des nombres de l'Université de Caen, année 1967-1968, 16 p.

[16] Apéry, Roger 1968.- Catégories, Bulletin de l'association des professeurs de mathématiques de l'enseignement public, 263/264, 299-308. | MR

[17] Apéry, Roger 1971.- Réforme ou démolition de l'enseignement mathématique, Revue des deux mondes, décembre 1971, 639-642.

[18] Apéry, Roger 1976.- Mathématique constructive, multigraphié à l'Université de Caen, s.d. Publié in Langage et pensée mathématiques. Actes du colloque international (Luxembourg, 9-11 juin 1976), Luxembourg : Centre Universitaire de Luxembourg, 1976, 391-410. Aussi in Séminaire de philosophie et mathématiques de l'École normale supérieure (séance du 26 avril 1976), collection Philosophie - Mathématiques, n${}^o$8, Paris : IREM Paris-Nord, 1980, 15 p. Pour d'autres versions postérieures de ce texte, voir plus bas [Apéry 1982]. | Numdam | Zbl

[19] Apéry, Roger 1979a.- Continu et discontinu, in Actes des journées pythagoriciennes « le continu et l'homme » (Athènes, 7-14 septembre 1978), {{\rm E}\Lambda {\rm E}\Upsilon \Theta {\rm EPIA}}, 2, 3-6. | MR

[20] Apéry, Roger 1979b.- interventions après une conférence de M. Caveing intitulée «  Sur la constitution des mathématiques en science théorique  », Bulletin de la Société française de Philosophie (séance du 27 janvier 1979), LXXIII(2), 51, 53, 54, 57, 61, 62.

[21] Apéry, Roger 1979c.- Irrationalité de $\zeta \left(2\right)$ et $\zeta \left(3\right)$, Astérisque, 61, 11-13. | Numdam | Zbl

[22] Apéry, Roger 1980.- intervention après des conférences de B. d'Espagnat et M. Paty intitulées «  La physique et le réel  », Bulletin de la Société française de Philosophie (séance du 24 novembre 1979), LXXIV(1), 26-27.

[23] Apéry, Roger 1981a.- Mesure d'irrationalité et de transcendance, Séminaire de philosophie et mathématiques de l'École normale supérieure (séance du 28 janvier 1977), collection Philosophie - Mathématiques n${}^o$10, Paris : IREM Paris-Nord, 1981.

[24] Apéry, Roger 1981b.- Interpolation de fractions continues et irrationalité de certaines constantes, Bulletin de la section des sciences du C.T.H.S., 3, 37-53. | MR | Zbl

[25] Apéry, Roger 1982.- Mathématique constructive, version modifiée et abrégée d'un texte de même titre [Apéry 1976], in Penser les mathématiques, séminaire de philosophie et mathématiques de l'École normale supérieure, dir. J. Dieudonné, M. Loi, R. Thom, textes préparés et annotés par F. Guénard et G. Lelièvre, Paris : éditions du Seuil, 1982, 58-72. Aussi sur Internet à l'adresse http ://peccatte.karefil/com/PhiMathsTextes/MathsConstructives.html. Traduction espagnole par C. Bidón-Chanal in Pensar la matematicá, Barcelone : Tusquets, 1988.

[26] Apéry, Roger 1983.- Le temps du mathématicien, Séminaire de philosophie et mathématiques de l'École normale supérieure (séance du 22 avril 1983), reprographié à l'IHES, 5 p.

[27] Apéry, Roger 1985.- Sommation des séries divergentes

[28] Apéry, Roger 1986.- Nature des objets mathématiques, Séminaire de philosophie et mathématiques de l'École normale supérieure (séance du 4 mars 1985), collection Philosophie - Mathématiques n${}^o$42, Paris : IREM Paris-Nord, 1986, 10 p. Réédité in Praxis et cognition, Actes du colloque (Cerisy-la-Salle, 20-27 septembre 1988), dir. J.-Cl. Tabary et E. Bernard-Weil, Limonest : éditions l'Interdisciplinaire, 1992. CM Catégories et modules, cours polycopié en deux fascicules, Caen : Université de Caen, s.d. (vers 1964), 32 p. et 19 p. (Ce document et les six qui suivent sont conservés dans les archives Apéry, à la bibliothèque de l'Université de Caen, section sciences.) LTE Logique et théorie des ensembles, cours polycopié en plusieurs fascicules (diverses versions), Caen : Université de Caen, s.d. (vers 1975) (Les intitulés des chapitres sont les suivants : logique bivalente des énoncés, difficultés de la logique bivalente, systèmes formels, systèmes connectifs, modèles, logique bivalente des prédicats, logiques construites par déduction naturelle, égalité, ensembles et classes, théorie des parties, familles d'ensembles, couples - correspondances - applications, cardinaux, axiome de choix.) AG Algèbre et géométrie, cours polycopié du certificat C3, en quatre fascicules, Caen : Université de Caen, s.d. (vers 1969), 34 p., 9 p., 33 p., 12 p. HA Homologie algébrique, cours polycopié de troisième cycle, en deux fascicules, Caen : Faculté des sciences, s.d. (vers 1975), 36 p, 23 p. HPS Histoire de la pensée scientifique, cours polycopié en plusieurs fascicules, Caen : Université de Caen, s.d. (vers 1975) (Les chapitres sont les suivants : Antiquité et Moyen âge (31 p.), Astronomie et physique (30 p), Chimie, Biologie.) HATN Histoire de l'algèbre et de la théorie des nombres, Caen : Faculté des sciences, s.d., 12 p. ML Mathématique et logique, chapitre I d'un cours ou d'un livre indéterminé, sans nom d'auteur (mais attribuable à Apéry de façon quasi-certaine), s.l.n.d., 7 p. FI Formalisme et intuition. Nous ne connaissons de ce texte que quelques passages cités sans référence précise [Upinsky 1977, 40-42]. CEM La crise de l'enseignement mathématique Nous ne connaissons de ce texte que quelques passages cités sans référence précise [Upinsky 1977, 50-52]. Spi La spirale Nous ne connaissons de ce texte qu'un passage cité sans référence précise [Upinsky 1977, 53-54].

[29] Bénabou, Jean 1985.- Fibered categories and the foundation of naive category theory, Journal of Symbolic Logic, 50, 10-37. | MR | Zbl

[30] Bourbaki, Nicolas 1948.- L'architecture des mathématiques, in Les grands courants de la pensée mathématique, dir. F. Le Lionnais, Paris : Hermann, 1948, 35-47.

[31] Bourbaki, Nicolas 1957.- Théorie des ensembles 1957, 2${}^{\mathrm{e}}$ éd. 1966.

[32] Bourbaki, Nicolas 1972.- Univers, in Théorie des topos et cohomologie étale des schémas, dir. M. Artin, A. Grothendieck et J.-L. Verdier, Berlin/Heidelberg/New York : Springer, 1972, 185-217. | MR

[33] Brouwer, Luitzen E. J. 1949.- Consciousness, philosophy and mathematics, in Proceedings of the tenth international congress of philosophy (Amsterdam, August 11-18, 1948), ed. by E. ÊW. Beth, H. J. Pos and J. ÊH. A. Hollak, vol. I, Amsterdam : North-Holland, 1949, 1235-1249. Traduction française par J. Largeault in Intuitionisme et théorie de la démonstration, Paris : Vrin, 1992, 419-440. | MR

[34] Cartan, Henri 1943.- Sur le fondement logique des mathématiques, Revue scientifique 81, 3-11. | MR | Zbl

[35] Chadeyras, Marcel 1970.- Essai d'une théorie noethérienne homogène pour les anneaux commutatifs dont la graduation est aussi générale que possible, Bulletin de la Société mathématique de France - Suppléments, Mémoires 22, 143 p., 1970. | Numdam | MR | Zbl

[36] Chevalley, Claude et Krasner, Marc 1982.- Pour la liberté en mathématiques, Gazette des mathématiciens, 18, 71-74.

[37] Dieudonné, Jean 1939.- Les méthodes axiomatiques modernes et les fondements des mathématiques, Revue scientifique, 77, 224-232. | JFM

[38] Ehresmann, Charles 1981.- Les catégories dans l'enseignement, texte d'une conférence faite à Saint-Quentin le 27 avril 1972, in Charles Ehresmann, œuvres complètes et commentées, vol. IV-1, Amiens : Andrée Charles-Ehresmann, 1981, 311-321.

[39] Fischler, Stéphane 2002.- Irrationalité de valeurs de la fonction zêta [d'après Apéry, Rivoal, ...], Séminaire Bourbaki (séance du 17 novembre 2002), exposé n${}^o$ 910 | Numdam | Zbl

[40] Halberstadt, Emmanuel 1970a.- Le radical d'un annéide régulier, Comptes-rendus de l'Académie des Sciences (série A), 270, 361-363. | MR | Zbl

[41] Halberstadt, Emmanuel 1970b.- Structure des annéides réguliers artiniens et semi-simples, Comptes-rendus de l'Académie des Sciences (série A), 270, 435-437 | MR | Zbl

[42] Hellegouarch, Yves 1995.- Roger Apéry (1916-1994), la Gazette des mathématiciens, 64, 82-83 et Phénix-Infos (bulletin d'information de l'Université de Caen), 38, 4. Traduction anglaise par M. Prévost disponible sur plusieurs sites Internet (utiliser un moteur de recherche). | MR

[43] Hilton, Peter 1964.- Catégories non abéliennes, suivi de textes de T. Ganea, H. Kleisli, J.-M. Maranda et H. Osborn, Séminaire de mathématiques supérieures été 1964, Montréal : Presses universitaires de Montréal, 1${}^{\mathrm{e}}$ éd. 1964, 2${}^{\mathrm{e}}$ éd. 1967. | MR | Zbl

[44] Hilton, Peter 1973.- Le langage des catégories dans l'enseignement secondaire, in : Hilton, Le langage des catégories, traduit par J.-C. Matthys, préface de Papy, collection Formation des maîtres en mathématiques, Paris : Cédic, 1973, 27-63.

[45] Krasner, Marc 1944.- Une généralisation de la notion de corps - corpoïde. Un corpoïde remarquable de la théorie des corps valués, Comptes-rendus de l'Académie des Sciences (série A), 219, 345-347. | MR | Zbl

[46] Krasner, Marc 1956.- Théorie des corps valués, 2, exposé 5, Séminaire 1953-54, Paris, 1956.

[47] Lawvere, F. William 1963.- Functorial Semantics of algebraic Theories, Proceedings of the National Academy of Science of USA, 50, 869-872. | MR | Zbl

[48] Lawvere, F. William 1966.- The Category of Categories as a Foundation of Mathematics, in Proceedings of the Conference on Categorical Algebra (La Jolla, June 7-12, 1965), ed. by S. Eilenberg and al., Berlin/Heidelberg/New York : Springer, 1966, 1-20. | MR | Zbl

[49] Levent, Bernard 1969.- Catégories et géométrie élémentaire, Bulletin de l'association des professeurs de mathématiques de l'enseignement public, 268, 235-238 notice consacrée à Roger Apéry, site Chronomath, à l'adresse réticulaire http : //www.sciences-en-ligne.com/momo/chronomath/chrono1/Apery.html

[50] Mendès-France, Michel 1979.- Roger Apéry et l'irrationnel, la Recherche, 97, 170-172. | Zbl

[51] Myhill, John 1972.- What is a real number ?, American Mathematical Monthly, 79, 748-754. | MR | Zbl

[52] Patras, Frédéric 1999.- Catégories et foncteurs, in Dictionnaire d'histoire et philosophie des sciences, dir. D. Lecourt, Paris : PUF, 1999, 143-145.

[53] Poincaré, Henri 1910.- Le libre examen en matière scientifique, in 1884-1909 : L'Université de Bruxelles, 75e anniversaire. Relations des fêtes, Bruxelles : Weissenbruch, 1910, 97-106. Réédité in Dernières Pensées, Paris : Flammarion, 1913, 201-211.

[54] Postel-Vinay, Olivier 1983.- E.T. et les ultramathématiques, la Recherche, 432, 46-54.

[55] Reeb, Georges 1982.- Compte rendu de « Penser les mathématiques », Gazette des mathématiciens, 19, 149-150.

[56] Reeb, Georges 1983.- Intuitionnisme, formalisme, mathématique non standard et infinitésimaux, texte d'une conférence daté du 3 janvier 1983 1994, Ê33-41.

[57] Shanin, Nicolai Alexandrov 1962.- Constructive Real Numbers and Constructive Function Spaces, translated from the Russian by E. Mendelson, Translations of mathematical Monographs vol. 21, Providence : AMS, 1968. Version originale en russe : Trudy Math. Inst. Steklov, 67, 1962, 15-294. | MR | Zbl

[58] Upinski, A. et L. 1977.- 2+2=5. De nouvelles mathématiques pour une nouvelle société, Paris : autoédition, 1977.

[59] Vredenduin, P. G. J. 1953.- The logic of negationless mathematics, Compositio Mathematica, 11, 204-270. | Numdam | MR | Zbl

[60] Weil, André 1948.- L'avenir des mathématiques, in Les grands courants de la pensée mathématique, dir. F. Le Lionnais, Paris : Hermann, 1948, 307-320.

[61] Zeilberger, Doran 2003.- Computerized deconstruction, Advances in Applied Mathematics, 31, 532-543. | MR | Zbl