‘Sur le concept de nombre en mathématique' Cours inédit de Leopold Kronecker à Berlin (1891)  [ ‘On the Concept of Number in Mathematics': Leopold Kronecker's 1891 Berlin Lectures ]
Revue d'histoire des mathématiques, Volume 7 (2001) no. 2, p. 207-275

The text published here is the last lecture course, on the notion of number in mathematics, taught by the Berlin mathematician Leopold Kronecker (1823-1891). These lectures, published here for the first time, give interesting insights into Kronecker's philosophy of mathematics and in particular into his concept of number. They clarify Kronecker's position within the movement of ‘arithmetization' and allow, in particular, for a better understanding of why and how Kronecker opposed the dominant viewpoint within this movement (held by Weierstrass, Cantor, Dedekind, and others). Kronecker introduced whole numbers mathematically, and proposed to integrate all of algebra and analysis into arithmetic. Today certain positions held by Kronecker may be seen as anticipating constructivist or intuitionist principles of the twentieth century.

Le texte que nous présentons est le dernier cours du mathématicien berlinois Leopold Kronecker (1823-1891). Ce cours, publié ici pour la première fois, nous donne des informations importantes sur la philosophie des mathématiques de Kronecker, en particulier sur sa conception du nombre. Il précise, en outre, la position que Kronecker occupa dans le mouvement d'‘arithmétisation' des mathématiques et permet de mieux comprendre comment, et pourquoi, il se situe à contre-courant de la tendance dominante (animée notamment par Weierstrass, Cantor et Dedekind). Kronecker définit le concept de nombre de façon purement mathématique et vise à intégrer l'algèbre et l'analyse dans une arithmétique telle qu' il l'entend. Certaines de ses positions apparaissent aujourd'hui comme des anticipations de principes constructivistes ou intuitionnistes du xxe.

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Boniface, Jacqueline; Schappacher, Norbert. ‘Sur le concept de nombre en mathématique' Cours inédit de Leopold Kronecker à Berlin (1891). Revue d'histoire des mathématiques, Volume 7 (2001) no. 2, pp. 207-275. http://www.numdam.org/item/RHM_2001__7_2_207_0/

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[13] Hegel (Georg Wilhelm Friedrich) [1801] Dissertatio philosophica de orbitis planetarum ; trad. allemande dans Erste Druckschriften, Leipzig : Lasson, 1928 ; trad. fr. avec introd. par F.de Gandt, “Les orbites des planètes", Paris : Vrin, 1979.

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[23] Kummer (Ernst Eduard) [1851] Mémoire sur la théorie des nombres complexes composés de racines de l'unité et de nombres entiers, Journal de mathématiques pures et appliquées XVI, p.377-498.

[24] Kronecker (Leopold) [Werke] Leopold Kroneckers Werke, cinq tomes, éd. par Kurt Hensel, Leipzig, 1895-1930 ; réimp. NewYork, 1968.

[25] Kronecker (Leopold) [1870] Auseinandersetzung einiger Eigenschaften der Klassenzahl idealer complexer Zahlen, Monatsbericht der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 1870, p.881-889 ; [Werke], I, p.273-282. | JFM 02.0097.01

[26] Kronecker (Leopold) [1881] Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Grössen, Festschrift zu Herrn Ernst Kummers fünfzigjährigem Doctor-Jubiläum, 10. September 1881, Berlin : Reimer ; republié dans Journal für die reine und angewandte Mathematik, 92 (1882), p.1-122 ; reproduit dans [Werke, II, p.239-387]. | JFM 14.0038.02

[27] Kronecker (Leopold) [1887] Über den Zahlbegriff, dans Philosophische Aufsätze, Eduard Zeller zu seinem fünfzigjährigen Doctor-Jubiläum gewidmet, Leipzig 1887, No VIII, p.261-274 ; remanié et republié dans Journal reine angew. Math., 101, p.337-355 ; reproduit dans [Werke III-1, p.251-274] ; trad. fr. avec introd. par J.Boniface dans Gazette des Mathématiciens, 81 (1999), p.49-70.

[28] Kronecker (Leopold) [1888] Zur Theorie der allgemeinen complexen Zahlen und der Modulsysteme, Sitzungsber. Kgl. Preuss. Akad. Wiss. Berlin 1888, p.429-438, 447-465, 557-578, 595-612, 983-1016 ; [Werke, III-2, p.3-114]. | JFM 22.0097.04

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[30] Lipschitz (Rudolf Otto Sigismund) [1877] Lehrbuch der Analysis, 1e partie : “Grundlagen der Analysis", Bonn : Cohen & Sohn, 1877.

[31] Molk (Jules) [1909] Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées, tome I : Arithmétique, Paris : Gauthier-Villars, et Leipzig : Teubner, 1909 ; section I3 : Nombres irrationnels et notion de limite (exposé, d'après l'article allemand de A.Pringsheim (Munich), par J.Molk), p.133-208. | JFM 40.0225.08

[32] Peano (Giuseppe) [1889] Arithmetices principia, nova methodo exposita, Torino : Bocca, 1889. | JFM 21.0051.02

[33] Peano (Giuseppe) [1890] Sur une courbe qui remplit toute une aire plane, Mathematische Annalen, 36 (1890), p.157-160. | JFM 22.0405.01 | MR 1510617

[34] Peirce (Charles Sanders) [1885] On the Algebra of Logic : a Contribution to the Philosophy of Notation, American Journal of Mathematics 7, no 2, p.180-202. | JFM 17.0044.02 | MR 1505381

[35] Pringsheim (Alfred) [1898] Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen, Erster Band, Leipzig : Teubner, 1898-1904 ; IA3 : “Irrationalzahlen und Konvergenz unendlicher Prozesse", p.47-146. | JFM 29.0206.01

[36] Purkert (Walter) & Ilgauds (Hans Joachim) [1987] Georg Cantor 1845-1918 ; Vita Mathematica, vol. 1, Basel-Boston-Stuttgart : Birkhäuser, 1987. | MR 892321 | Zbl 0617.01018

[37] Russell (Bertrand) [1903] Principles of Mathematics, London : Allen & Unwin LTD ; trad. fr. dans “Écrits de logique philosophique", Paris : PUF, 1989.

[38] Schubert (Hermann) [1885] System der Arithmetik und Algebra als Leitfaden für den Unterricht in höheren Schulen, Potsdam : Aug. Stein, 1885. | JFM 17.0052.01

[39] Stuke (H.) [1974] “Hegelianismus”, dans Ritter (Joachim H.), éd., Historisches Wörterbuch der Philosophie, vol.3, Darmstadt, 1974, p. 1026-1030.

[40] Sylvester (James Joseph) [CP] The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester, 4 vols, Cambridge : Cambridge Univ. Press, 1904-1912 ; réimp., NewYork : Chelsea Publ. Co., 1973. | JFM 43.0026.01

[41] Sylvester (James Joseph) [1851] On the General Theory of Associated Algebraical Forms, Cambridge and Dublin Mathematical Journal, vi. (1851), p.289-293 ; reproduit dans [CP,I, p.198-202].

[42] Tannery (Jules) [1886] Introduction à la théorie des fonctions d'une variable, Paris : Hermann, 1886. | JFM 18.0328.02

[43] Vitrac (Bernard) [1994] Euclide, Les Éléments, Paris : PUF, vol. 2, 1994. | MR 1304053

[44] Weyl (Hermann) [1918] Das Kontinuum, Kritische Untersuchung über die Grundlagen der Analysis, Leipzig : Veit & Comp., 1918. | JFM 46.0312.01 | Zbl 0005.15403

[45] Werder (Karl) [1841] Logik, als Commentar und Ergänzung zu Hegels Wissenschaft der Logik, 1. Abt., Berlin : Veit, 1841.

[46] Wussing (Hans) [1969] Die Genesis des abstrakten Gruppenbegriffs, Ein Beitrag zur Entstehungsgeschichte der abstrakten Gruppentheorie, Berlin : VEB Verlag der Wissenschaften, 1969 ; trad. angl. The Genesis of the Abstract Group Concept. A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory, Cambridge Ma. : MIT Press, 1984. | MR 282776 | Zbl 0199.29101