Géométrie des tissus. Mosaïques. Échiquiers. Mathématiques curieuses et utiles

Décaillot, Anne-Marie

Revue d'histoire des mathématiques, Tome 8 (2002) no. 2, pp. 145-206.

Dans la deuxième moitié du xixe siècle, une ambition commune anime le groupe de mathématiciens dont les travaux sont présentés ici : contribuer à la diffusion de l'esprit scientifique auprès d'un large public. Le lieu d'expression de ce groupe est l'Association française pour l'avancement des sciences, créée en 1872, après la défaite de la France au cours du conflit franco-prussien. Rendre la science populaire, tel est le but poursuivi. Afin de répondre à cet objectif, les questions mathématiques abordées sont issues de problèmes concrets, où se trouve privilégiée une représentation visuelle simple. Leur résolution met en jeu un instrument commun : l'échiquier. Il permet, autour de la géométrie des tissus d'Édouard Lucas, de traiter la théorie des nombres. La construction des mosaïques de Charles-Ange Laisant rejoint la représentation des groupes finis et la cristallographie. Les échiquiers anallagmatiques de James-Joseph Sylvester apparaissent sous forme de récréations mathématiques, avant de devenir matrices et d'attirer l'attention de Jacques Hadamard. Une analyse de l'impact de ces recherches en leur temps est effectuée, ainsi qu'une étude des développements qu'elles connaissent de nos jours.

In the second half of the nineteenth century, the group of mathematicians whose work will be analyzed here was driven by a common ambition: to contribute to the diffusion of science to a wide audience. As their platform, they chose the French Association for the Advancement of Science, a society founded in 1872 after France's defeat in the Franco-Prussian War. They aimed to make science popular. In order to achieve this goal, they treated mathematical questions originating in concrete problems and favored simple visual representations. Their solutions employed a common tool: the chessboard. The latter suggested, as in the case of Édouard Lucas's geometry of fabrics, number-theoretic results. The construction of Charles-Ange Laisant's mosaics related to the representation of finite groups and crystallography. James Joseph Sylvester's anallagmatic chessboards represented examples of recreational mathematics before their transformation into the matrices attracted the attention of Jacques Hadamard. This article explores the impact of this research in its day, as it examines contemporaneous developments of this nature.

Mots clés : arithmétique, réciprocité quadratique, entiers de Gauss, résidus quadratiques, réseaux, pavages du plan, groupes finis, AFAS, Édouard Lucas, Thorvald Thiele, Charles-Ange Laisant, James-Joseph Sylvester

[1] Autebert (Jean-Michel), Décaillot (Anne-Marie), Schwer (Sylviane) [2003] Henri-Auguste Delannoy et la publication des œuvres posthumes d'Édouard Lucas, Gazette des mathématiciens, 95 (janvier 2003), p.51-62. | Zbl

[2] Bachmann (Paul) [1902] Niedere Zahlentheorie (1.Teil), Leipzig : Teubner, 1902.

[3] Bachmann (Paul) [1922-1923] Ueber Gauss' zahlentheoretische Arbeiten ; dans [Gauss 1863, Werke2, p.1-74].

[4] Badoureau (Albert) [1878] Sur les figures isocèles, Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, 87 (1878), p.823-825. | JFM

[5] Badoureau (Albert) [1881] Mémoire sur les figures isocèles, Journal de l'École polytechnique, 30 (1881), p.47-172.

[6] Bourdieu (Pierre) [2001] Science de la science et réflexivité, Paris : Raisons d'agir, 2001.

[7] Bravais (Auguste) [1849a] Mémoire sur les polyèdres de forme symétrique, Journal de mathématiques pures et appliquées, 14 (1849), p.141-180.

[8] Bravais (Auguste) [1849b] Rapport sur un Mémoire de M.Bravais relatif à certains systèmes ou assemblages de points matériels, C. R. Acad. sci. Paris, 29 (1849), p.133-137.

[9] Bravais (Auguste) [1850] Mémoire sur les systèmes formés de points distribués régulièrement sur un plan ou dans l'espace, J. École pol., 19 (1850), p.1-128.

[10] Broch (Ole) [1874] Sur la représentation graphique des nombres complexes, Congrès de l'AFAS, 3 (1874), p.1174-1176 et Tableaux III, p.XII-XIII.

[11] Burckhardt (Johann Jakob), Scholz (Erhard) [1988] Die Symmetrie der Kristalle, Basel, Boston, Berlin : Birkhäuser, 1988. | MR

[12] Butzer (Paul), Carbone (Luciano), Jongmans (François), Palladino (Franco) [1999] Les relations épistolaires entre Eugène Catalan et Ernesto Cesàro, Bulletin de la classe des sciences, Académie royale de Belgique, 6e série, tome X (1999), p.223-271. | MR | Zbl

[13] Cahen (Émile) [1900] Éléments de théorie des nombres, Paris : Gauthier-Villars, 1900.

[14] Catalan (Eugène) [1865] Mémoire sur la théorie des polyèdres, J. École pol., 24 (1865), p.1-71.

[15] Chevreul (Eugène) [1866] Distribution des connaissances humaines du ressort de la Philosophie naturelle, Mémoires de l'Académie des sciences de l'Institut impérial de France, 2e série, 35 (1866), p.519-584.

[16] Connes (Alain) [1990] Géométrie non commutative, Paris : Inter-Éditions, 1990. | MR | Zbl

[17] Décaillot (Anne-Marie) [1998] L'arithméticien Édouard Lucas (1842-1891) : théorie et instrumentation, Revue d'histoire des mathématiques, 4 (1998), p.191-236. | Numdam | MR | Zbl

[18] Décaillot (Anne-Marie) [1999] Édouard Lucas (1842-1891) : le parcours original d'un scientifique français dans la deuxième moitié du XIXe siècle siècle, Thèse de l'Université Paris V-René Descartes, 2 vol., décembre 1999.

[19] Décaillot (Anne-Marie) [2002] L'AFAS : l'originalité d'une démarche mathématique, dans [Gispert (éd.) 2002, p.205-214].

[20] Descartes (René) [Œuvres] Œuvres de Descartes, éd. par Samuel S. de Sacy, t.1, Paris : Club français du livre, 1966.

[21] Descartes (René) [1701] Regulae ad directionem Ingenii, dans Opuscula posthuma physica et mathematica, Amsterdam, 1701 ; trad. française Victor Cousin dans [Descartes, Œuvres, I].

[22] Dhombres (Jean), dir. [1994] La Bretagne des savants et des ingénieurs 1825-1900, Centre de culture scientifique, technique et industrielle, Éditions Ouest-France, 1994.

[23] Edwards (Anthony William Fairbank) [1958] Number of Mating Types required for Balance in Multipoint Linkage Programmes, Nature, 181 (February 1958), p.503-504.

[24] Eisenstein (Gotthold) [1844a] La loi de réciprocité tirée des formules de Mr.Gauss, sans avoir déterminé préalablement le signe du radical, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 28 (1844), p.41-43. | Zbl

[25] Eisenstein (Gotthold) [1844b] Geometrischer Beweis des Fundamentaltheorems für die quadratischen Reste, J. reine angew. Math., 28 (1844), p.246-248. | Zbl

[26] Fermat (Pierre De) [Œuvres] Œuvres de Fermat, éd. par Paul Tannery et Charles Henry, t.I-IV, Paris : Gauthier-Villars, 1891-1912. | JFM

[27] Friedel (Charles) [1886] Les progrès de la minéralogie, Congrès de l'AFAS, (1), 15 (1886), p.9-20.

[28] Gand (Édouard) [1867a] Nouvelles méthodes de construction des satins réguliers, pairs et impairs. Théorie des nombres premiers appliquée aux pointés de ces armures, Bulletin de la Société industrielle d'Amiens, janvier 1867, p.57-88.

[29] Gand (Édouard) [1867b] Nouvelles méthodes de construction des satins réguliers, pairs et impairs. Armures (tissu), armures (dessin), mosaïques, Bull. Soc. indus. Amiens, juillet 1867, p.257-300.

[30] Gand (Édouard) [1868] Cours de tissage, Paris : Eugène Lacroix, 1868.

[31] Gand (Édouard) [1871] Le transpositeur ou l'improvisateur de tissus, Paris : J.Baudry, 1871.

[32] Gand (Édouard) [1876-1878] Cours de tissage, 3 vol., Archives industrielles, Paris : J.Baudry, 1876-1878.

[33] Gauss (Carl Friedrich) [Werke] Werke herausgegeben von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 12 vol., 1863-1874 ; réimp. Hildesheim : Georg Olms,1973. | MR | Zbl

[34] Gauss (Carl Friedrich) [1801] Disquisitiones arithmeticae, Leipzig : Teubner 1801 ; trad. fr. A.-C.-M. Poullet-Delisle : Recherches arithmétiques, Paris : Courcier, 1807 ; rééd. Blanchard 1953, Gabay 1989. | Zbl

[35] Gauss (Carl Friedrich) [1828] Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio prima. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores, 6 (1828), p.27-56 ; dans [Gauss, Werke 2, 1863, p.65-92].

[36] Gauss (Carl Friedrich) [1832] Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio Secunda. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores, 7 (1832), cl. math. p.89-148 ; dans [Gauss, Werke 2, 1863, p.93-148].

[37] Gispert (Hélène), dir. [2002] ‘Par la science, pour la patrie'. L'Association française pour l'avancement des sciences (1872-1914), un projet politique pour une société savante, Rennes : Presses universitaires de Rennes, 2002.

[38] Grünbaum (Branko), Shephard (Geoffrey C.) [1987] Tilings and Patterns, New York : Freeman, 1987. | MR | Zbl

[39] Hadamard (Jacques) [Œuvres] Œuvres de Jacques Hadamard, Paris : Éditions du CNRS, 1968.

[40] Hadamard (Jacques) [1893a] Sur le module maximum que puisse atteindre un déterminant, C. R. Acad. sci. Paris, 116 (1893), p.1500-1501 ; [Œuvres, I, p.237-238]. | JFM

[41] Hadamard (Jacques) [1893b] Résolution d'une question relative aux déterminants, Bulletin des Sciences mathématiques, (2), 17 (1893), p.240-246 ; [Œuvres, I, p.239-245]. | JFM

[42] Hardy (Godfrey Harold), Wright (Edward Maitland) [1938] An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford : Clarendon Press, 1938. | MR

[43] Harpe (P. De La) [1989] Quelques problèmes non résolus en géométrie plane, L'Enseignement mathématique, 35 (1989), p.227-243. | MR | Zbl

[44] Hedayat A., Wallis (Walter D.) [1978] Hadamard matrices and their applications, Annals of Statistics, 6 (1978), p.1184-1238. | MR | Zbl

[45] Hermite (Charles) [1984-1989] Lettres à Gösta Mittag-Leffler, publiées et annotées par Pierre Dugac, Cahiers du séminaire d'histoire des mathématiques, 5 (1984), p.49-285 ; 6 (1985), p.79-217 ; 10 (1989), p.1-82. | Numdam | MR

[46] Hilbert (David), Cohn-Vossen (Stefan) [1932] Anschauliche Geometrie, Berlin : Springer, 1932. Éd. anglaise : Geometry and the Imagination, New-York : Chelsea, 1952. | MR | Zbl

[47] Houzel (Christian) [1996] De Diophante à Fermat, Pour la Science, 219 (janvier 1996), p.88-96.

[48] Jongmans (François) [1996] Eugène Catalan, Géomètre sans patrie, Républicain sans république, Mons (Belgique) : Société belge des professeurs de mathématique d'expression française, 1996. | MR | Zbl

[49] Koster (G.F.) [1957] Space Groups and their Representations, New York-London : Academic Press, 1957.

[50] Labriffe (Charles) [1928] Manuel de tissage. Matières textiles - Tissus simples, 2e éd., Librairie J.-B. Baillière et fils, 1928.

[51] Laisant (Charles-Ange) [1878] Note sur la géométrie des quinconces, Bulletin de la Société mathématique de France, 6 (1878), p.156-158. | JFM | Numdam

[52] Laisant (Charles-Ange) [1879] Discours d'ouverture - Notice historique sur les travaux des première et deuxième sections jusqu'en 1878 inclusivement, Congrès de l'AFAS, 8 (1879), p.61-116.

[53] Laisant (Charles-Ange) [1881a] Sur les développements de certains produits algébriques, Congrès de l'AFAS, 10 (1881), p.84-108 et Planche III.

[54] Laisant (Charles-Ange) [1881b] Introduction à la méthode des quaternions, Paris : Gauthier-Villars, 1881. | JFM

[55] Laisant (Charles-Ange) [1887a] Notice historique sur les travaux des première et deuxième sections de 1879 à 1886 inclusivement, Congrès de l'AFAS, (2), 16 (1887), p.3-83.

[56] Laisant (Charles-Ange) [1887b] Quelques applications arithmétiques de la géométrie des quinconces, Congrès de l'AFAS, (2), 16 (1887), p.218-235. | JFM

[57] Laisant (Charles-Ange) [1887c] Traité et application des équipollences, Paris : Gauthier-Villars, 1887.

[58] Laquiere (Emmanuel) [1879] Note sur la géométrie des quinconces, Bull. Soc. math. France, 7 (1879), p.85-92. | JFM | Numdam | MR

[59] Levy (Lucien) [1891] Sur les pavages à l'aide de polygones réguliers, Bulletin de la Société philomatique de Paris, (8), 3 (1891), p.46-50. | JFM

[60] Lucas (Édouard) [1867] Application de l'arithmétique à la construction de l'armure des satins réguliers, Paris : G.Retaux, 1867.

[61] Lucas (Édouard) [1876a] Lois géométriques du tissage, Congrès de l'AFAS, 5 (1876), p.114.

[62] Lucas (Édouard) [1876b] Sur les rapports qui existent entre la théorie des nombres et le calcul intégral, C. R. Acad. sci. Paris, 82 (1876), p.1303-1305. | JFM

[63] Lucas (Édouard) [1877a] Problèmes sur la géométrie des quinconces, Nouvelle correspondance mathématique, 3 (1877), p.412-413.

[64] Lucas (Édouard) [1877b] Sur l'échiquier anallagmatique de M.Sylvester, Congrès de l'AFAS, 6 (1877), p.213-214.

[65] Lucas (Édouard) [1878a] Sur la géométrie du tissage, Congrès de l'AFAS, 7 (1878), p.155.

[66] Lucas (Édouard) [1878b] Théorème sur la géométrie des quinconces, Bull. Soc. math. France, 6 (1878), p.9-10. | JFM | Numdam | MR

[67] Lucas (Édouard) [1880] Sur les échiquiers anallagmatiques et les produits de sommes de carrés, Congrès de l'AFAS, 9 (1880), p.98.

[68] Lucas (Édouard) [1883] Récréations mathématiques, vol. 2, Paris : Gauthier-Villars, 1883. | JFM

[69] Lucas (Édouard) [1890] Sur la loi de réciprocité des résidus quadratiques, Bulletin de l'Académie impériale des sciences de Saint-Pétersbourg, 33 (1890), p.495-496.

[70] Lucas (Édouard) [1891] Théorie des nombres, t.I, Paris : Gauthier-Villars, 1891.

[71] Lucas (Édouard) [1911] Les principes fondamentaux de la géométrie des tissus, Congrès de l'AFAS, (2), 40 (1911), p.72-88 (mémoire extrait de l'Ingegnere Civile (Turin, 1880) et traduit de l'italien par A.Aubry et A.Gérardin). | JFM

[72] Miller (W.J.), éd. [1868-1869] Mathematical Questions with their Solutions from the ‘Educational Times', vol. 10-12, London : Hodgson, 1868-1869.

[73] Miller (W.J.), éd. [1884] Mathematical Questions with their Solutions from the ‘Educational Times', vol. 40, London : Hodgson, 1884.

[74] Minkowski (Hermann) [1896] Geometrie der Zahlen, Leipzig : Teubner, 1896 ; 2e éd. 1910. | MR | Zbl

[75] Parshall (Karen) [1989] Toward a History of Nineteenth-Century Invariant Theory, dans Rowe (David E.) and Mc Cleary (J.), ed., The History of Modern Mathematics, Boston : Academic Press, 1989, p.157-206. | MR

[76] Parshall (Karen) [1998] James Joseph Sylvester - Life and Work in Letters, Oxford : Clarendon Press, 1998. | MR | Zbl

[77] Parshall (Karen), Rowe (David) [1994] The Emergence of the American Mathematical Research Community - 1876-1900 : J.J. Sylvester, Felix Klein, and E.H. Moore, Providence : American Mathematical Society, London Mathematical Society, 1994. | MR | Zbl

[78] Polignac (C. De) [1878] Représentation graphique de la résolution en nombres entiers de l’équation indéterminée $ax+by=c$, Bull. Soc. math. France, 6 (1878), p.158-163. | JFM | Numdam | MR

[79] Quatrefages (Armand De Bréau De) [1872] La science et la patrie, Congrès de l'AFAS, 1 (1872), p.36-41.

[80] Querré (Julien) [1976] Cours d'algèbre, Paris : Masson, 1976. | Zbl

[81] Samuel (Pierre) [1967] Théorie algébrique des nombres, Paris : Hermann, 1967. | MR | Zbl

[82] Schoenflies (Arthur) [1891] Krystallsysteme und Krystallstruktur, Leipzig : Teubner, 1891. Rééd. Berlin : Springer, 1984. | JFM | Zbl

[83] Senechal (Marjorie) [1996] Quasicrystals and Geometry, Cambridge : Cambridge Univ. Press, 1996. | MR | Zbl

[84] Serre (Jean-Pierre) [1970] Cours d'arithmétique, Paris : Presses Universitaires de France, 1970. | MR | Zbl

[85] Speiser (Andreas) [1923] Die Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung, Berlin : Springer, 1923. | JFM

[86] Sylvester (James Joseph) [Papers] The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester, 4 vol., H.F.Baker ed., Cambridge : University Press, 1904-1912. | JFM

[87] Sylvester (James Joseph) [1865a] On an elementary proof and generalization of Sir Isaac Newton's hitherto undemonstrated rule for the discovery of imaginary roots, Proceedings of the London Mathematical Society, 1 (1865-1866), p.1-16.

[88] Sylvester (James Joseph) [1865b] Sur les limites du nombre des racines réelles des équations algébriques, C.R. Acad. sci. Paris, 50 (1865), p.282-283.

[89] Sylvester (James Joseph) [1865c] Théorème d'algèbre élémentaire, C. R. Acad. sci. Paris, 51 (1865), p.1261-1263.

[90] Sylvester (James Joseph) [1867] Thoughts on inverse orthogonal matrices, simultaneous sign-successions, and tessellated pavements in two or more colours, with applications to Newton's rule, ornamental tile-work, and the theory of numbers, Philosophical Magazine, 34 (1867), p.461-475 ; [Papers 2, p.615-628].

[91] TCHEBYCHEV (Pafnuti Lvovich) [Œuvres] Œuvres de P.L. Tchebychef, en français, 2 vol., Saint-Pétersbourg : A.Markoff et N.Sonin, 1899-1907.

[92] TCHEBYCHEV (Pafnuti Lvovich) [1878] Sur la coupe des vêtements, Congrès de l'AFAS, 7 (1878), p.154.

[93] TCHEBYCHEV (Pafnuti Lvovich) [1946-1951] Œuvres complètes (1946/1951), en russe, 5 vol., Moscow-Leningrad : Izdatel'stvo Akad. Nauk SSR, 1946-1951.

[94] Thiele (Thorvald) [1874] Om Talmønstre (on number patterns), Forhandlingerne ved de skandinaviske Naturforskeres (meeting of the Scandinavian natural scientists), 11, Copenhague : J.H.Schultz, 1874, p.192-195. | JFM

[95] Waldschmidt (Michel) [1992] From Number Theory to Physics, Berlin, New York : Springer-Verlag, 1992. | Zbl

[96] Wallis (Walter D.) [1988] Combinatorial Designs, Pure and Applied Mathematics, New York-Basel : M.Dekker, 1988. | MR | Zbl

[97] Wallis (Walter D.), Street (Anne Penfold), Wallis (Jennifer Seberry) [1972] Combinatorics : Room Squares, Sum-Free Sets, Hadamard Matrices, Lecture Notes in Mathematics, 292, Berlin, New York : Springer, 1972. | MR

[98] Warusfel (André) [1971] Structures algébriques finies, Paris : Hachette, 1971. | MR | Zbl

[99] Weyl (Hermann) [1952] Symmetry, Princeton : Princeton Univ. Press, 1952. Trad. française : Symétrie et mathématique moderne, Paris : Flammarion, 1964. | MR | Zbl