Géométrie des tissus. Mosaïques. Échiquiers. Mathématiques curieuses et utiles
[The Geometry of Fabrics. Mosaics. Chessboards. Curious and useful mathematics]
Revue d'histoire des mathématiques, Volume 8 (2002) no. 2, pp. 145-206.

In the second half of the nineteenth century, the group of mathematicians whose work will be analyzed here was driven by a common ambition: to contribute to the diffusion of science to a wide audience. As their platform, they chose the French Association for the Advancement of Science, a society founded in 1872 after France's defeat in the Franco-Prussian War. They aimed to make science popular. In order to achieve this goal, they treated mathematical questions originating in concrete problems and favored simple visual representations. Their solutions employed a common tool: the chessboard. The latter suggested, as in the case of Édouard Lucas's geometry of fabrics, number-theoretic results. The construction of Charles-Ange Laisant's mosaics related to the representation of finite groups and crystallography. James Joseph Sylvester's anallagmatic chessboards represented examples of recreational mathematics before their transformation into the matrices attracted the attention of Jacques Hadamard. This article explores the impact of this research in its day, as it examines contemporaneous developments of this nature.

Dans la deuxième moitié du xixe siècle, une ambition commune anime le groupe de mathématiciens dont les travaux sont présentés ici : contribuer à la diffusion de l'esprit scientifique auprès d'un large public. Le lieu d'expression de ce groupe est l'Association française pour l'avancement des sciences, créée en 1872, après la défaite de la France au cours du conflit franco-prussien. Rendre la science populaire, tel est le but poursuivi. Afin de répondre à cet objectif, les questions mathématiques abordées sont issues de problèmes concrets, où se trouve privilégiée une représentation visuelle simple. Leur résolution met en jeu un instrument commun : l'échiquier. Il permet, autour de la géométrie des tissus d'Édouard Lucas, de traiter la théorie des nombres. La construction des mosaïques de Charles-Ange Laisant rejoint la représentation des groupes finis et la cristallographie. Les échiquiers anallagmatiques de James-Joseph Sylvester apparaissent sous forme de récréations mathématiques, avant de devenir matrices et d'attirer l'attention de Jacques Hadamard. Une analyse de l'impact de ces recherches en leur temps est effectuée, ainsi qu'une étude des développements qu'elles connaissent de nos jours.

Keywords: arithmétique, réciprocité quadratique, entiers de Gauss, résidus quadratiques, réseaux, pavages du plan, groupes finis, AFAS, Édouard Lucas, Thorvald Thiele, Charles-Ange Laisant, James-Joseph Sylvester
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