Écarts entre nombres premiers successifs
[Gaps between consecutive primes]
Séminaire Bourbaki : volume 2005/2006, exposés 952-966, Astérisque, no. 311 (2007), Talk no. 959, pp. 177-210.

The Prime Number Theorem implies that the gap p n+1 -p n between consecutive prime numbers p n <p n+1 is, on average of order of magnitude logp n . Recently, D. Goldston, J. Pintz and C. Yıldırım have succeeded in proving that the normalized gap (p n+1 -p n )/log(p n ) can be arbitrarily small, improving spectacularly the previously known results. Under some assumptions which are considered as likely to be true, they manage to prove that p n+1 -p n <16 infinitely often. Their method is a beautiful application of ideas inspired by sieve methods, and it seems to offer many possibilities for further developments.

Le théorème des nombres premiers dit que la distance entre deux nombres premiers consécutifs p n <p n+1 est, en moyenne, de l’ordre de ln(p n ). Récemment, D. Goldston, J. Pintz et C. Yıldırım sont parvenus à démontrer que la distance normalisée (p n+1 -p n )/ln(p n ) pouvait devenir arbitrairement petite, améliorant spectaculairement les résultats connus auparavant. Sous des hypothèses considérées comme raisonnables, ils parviennent à montrer que p n+1 -p n <16 infiniment souvent. Leur méthode est une très jolie application d’idées inspirée par les méthodes de crible, et elle semble offrir de nombreuses possibilités de développement.

Classification: 11N05, 11N13, 11N35, 11N36, 11P32
Mot clés : répartition des nombres premiers, nombres premiers dans les progressions arithmétiques, écarts entre nombres premiers, méthodes de cribles
Keywords: distribution of prime numbers, primes in arithmetic progressions, gaps between primes, sieve methods
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Kowalski, Emmanuel. Écarts entre nombres premiers successifs, in Séminaire Bourbaki : volume 2005/2006, exposés 952-966, Astérisque, no. 311 (2007), Talk no. 959, pp. 177-210. http://archive.numdam.org/item/SB_2005-2006__48__177_0/

[1] E. Bombieri - “On twin almost primes”, Acta Arith. 28 (1975/76), p. 177-193, Correction, id., p. 457-461. | EuDML | MR | Zbl

[2] E. Bombieri & H. Davenport - “Small differences between prime numbers”, Proc. Roy. Soc. Ser. A 293 (1966), p. 1-18. | MR | Zbl

[3] E. Bombieri, J. B. Friedlander & H. Iwaniec - “Primes in arithmetic progressions to large moduli”, Acta Math. 156 (1986), no. 3-4, p. 203-251. | EuDML | MR | Zbl

[4] N. Bourbaki - Éléments de mathématique, Fonctions d'une variable réelle, Théorie élémentaire, Hermann, Paris, 1976. | Zbl

[5] J.-M. Deshouillers - “Progrès récents des petits cribles arithmétiques [d'après Jing Run Chen, Henryk Iwaniec, ...]”, in Séminaire Bourbaki (1977/78), Lect. Notes in Math., vol. 710, Springer, Berlin, 1979, exp. no. 520, p. 248-262. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[6] É. Fouvry - “Autour du théorème de Bombieri-Vinogradov”, Acta Math. 152 (1984), no. 3-4, p. 219-244. | MR | Zbl

[7] -, “Cinquante ans de théorie analytique des nombres. Un point de vue parmi d'autres : celui des méthodes de crible”, in Development of mathematics 1950-2000, Birkhäuser, Basel, 2000, p. 485-514. | Zbl

[8] E. Fouvry & H. Iwaniec - “On a theorem of Bombieri-Vinogradov type”, Mathematika 27 (1980), no. 2, p. 135-152. | MR | Zbl

[9] P. X. Gallagher - “On the distribution of primes in short intervals”, Mathematika 23 (1976), no. 1, p. 4-9. | MR | Zbl

[10] D. A. Goldston - “On Bombieri and Davenport's theorem concerning small gaps between primes”, Mathematika 39 (1992), no. 1, p. 10-17. | MR | Zbl

[11] D. A. Goldston, S. W. Graham, J. Pintz & C. Y. Yildirim - “Small gaps between primes or almost primes”, prépublication arXiv : math.NT/0506067. | DOI | MR | Zbl

[12] D. A. Goldston, Y. Motohashi, J. Pintz & C. Y. Yildirim - “Small gaps between primes exist”, Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. 82 (2006), no. 4, p. 61-65. | MR | Zbl

[13] D. A. Goldston, J. Pintz & C. Y. Yildirim - “The Path to Recent Progress on Small Gaps Between Primes”, prépublication arXiv : math.NT/0512436. | MR | Zbl

[14] -, “Primes in tuples, I”, prépublication arXiv : math.NT/0508185. | Zbl

[15] H. Halberstam & H. Richert - Sieve methods, Academic Press, 1974. | Zbl

[16] D. Heath-Brown - “Almost-prime k-tuples”, Mathematika 44 (1997), no. 2, p. 245-266. | MR | Zbl

[17] B. Host - “Progressions arithmétiques dans les nombres premiers”, in Sém. Bourbaki (2004/2005), Astérisque, vol. 307, Soc. Math. France, Paris, 2006, Exp. 944 (mars 2005). | EuDML | Numdam | Zbl

[18] H. Iwaniec & E. Kowalski - Analytic number theory, Amer. Math. Soc. Colloquium Publications, vol. 53, Amer. Math. Soc., Providence, 2004. | DOI | MR | Zbl

[19] E. Kowalski - Un cours de théorie analytique des nombres, Cours Spécialisés, vol. 13, Soc. Math. France, Paris, 2004. | MR | Zbl

[20] P. Michel - “Progrès recents du crible et applications [d'après Duke, Fouvry, Friedlander, Iwaniec]”, in Séminaire Bourbaki (1997/98), Astérisque, vol. 252, Soc. Math. France, Paris, 1998, Exp. no. 842, p. 185-209. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[21] J. Pintz & Y. Motohashi - “A smoothed GPY sieve”, prépublication arXiv : math.NT/0602599. | MR | Zbl

[22] A. Selberg - “Lectures on sieves”, in Collected papers II, Springer-Verlag, Berlin, 1991, p. 65-247. | MR

[23] J. Sivak - “Méthodes de crible appliquées aux sommes de Kloosterman et aux petits écarts entre nombres premiers”, Thèse, Université Paris-Sud, décembre 2005.