Compactification de l'espace des modules des variétés abéliennes principalement polarisées
[Compactification of the moduli space of principally polarized abelian varieties]
Séminaire Bourbaki : volume 2005/2006, exposés 952-966, Astérisque, no. 311 (2007), Talk no. 952, pp. 1-32.

The coarse moduli space of principally polarized abelian varieties may be compactified in several ways, via the Satake compactification or the toroidal compactifications. This raises the problem of finding a “modular” compactification of this moduli space in terms of geometric objects that describe the boundary points. One also seeks a compactification of the Torelli morphism that associates with every nonsingular projective curve its jacobian. The talk presents the solution of these problems by V. Alexeev, based on work of Mumford, Faltings-Chai, Nakamura, and Namikawa.

Les variétés abéliennes principalement polarisées admettent un espace des modules grossier qu'on sait compactifier de plusieurs façons (compactification de Satake, compactifications toroïdales). Cependant, le problème s'est posé de construire une compactification “modulaire”en termes d'objets géométriques qui permettent de décrire les points du bord. On souhaite aussi compactifier l'application de Torelli qui à chaque courbe algébrique, projective et lisse, associe sa jacobienne. L'exposé présente la solution de ces problèmes par V. Alexeev, à la suite de travaux de Mumford, Faltings-Chai, Nakamura et Namikawa.

Classification: 11H55, 14D22, 14H10, 14H40, 14K10, 14M25
Mot clés : variété abélienne, polarisation principale, espace des modules grossier, variété semi-abélienne, variété torique, décompositions de Delaunay et de Voronoi, jacobienne compactifiée
Keywords: abelian variety, principal polarization, coarse moduli space, semi-abelian variety, toric variety, Delaunay and Voronoi decompositions, compactified jacobians
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Brion, Michel. Compactification de l'espace des modules des variétés abéliennes principalement polarisées, in Séminaire Bourbaki : volume 2005/2006, exposés 952-966, Astérisque, no. 311 (2007), Talk no. 952, pp. 1-32. http://archive.numdam.org/item/SB_2005-2006__48__1_0/

[1] V. Alexeev - “Log canonical singularities and complete moduli of stable pairs”, arXiv : alg-geom/9608013.

[2] -, “On extra components in the functorial compactification of A g , in Moduli of abelian varieties (Texel Island, 1999), Progr. Math., vol. 195, Birkhäuser, Basel, 2001, p. 1-9. | MR | Zbl

[3] -, “Complete moduli in the presence of semiabelian group action”, Ann. of Math. (2) 155 (2002), no. 3, p. 611-708. | MR | Zbl

[4] -, “Compactified Jacobians and Torelli map”, Publ. Res. Inst. Math. Sci. 40 (2004), no. 4, p. 1241-1265. | MR | Zbl

[5] V. Alexeev & I. Nakamura - “On Mumford's construction of degenerating abelian varieties”, Tohoku Math. J. (2) 51 (1999), no. 3, p. 399-420. | MR | Zbl

[6] A. Ash, D. Mumford, M. Rapoport & Y. Tai - Smooth compactification of locally symmetric varieties, Math. Sci. Press, Brookline, Mass., 1975, Lie Groups : History, Frontiers and Applications, vol. IV. | MR | Zbl

[7] S. Bosch, W. Lütkebohmert & M. Raynaud - Néron models, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), vol. 21, Springer-Verlag, Berlin, 1990. | DOI | Zbl

[8] G. Faltings & C.-L. Chai - Degeneration of abelian varieties, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), vol. 22, Springer-Verlag, Berlin, 1990, avec un appendice de D. Mumford. | DOI | MR | Zbl

[9] R. Hartshorne - Algebraic geometry, Graduate Texts in Math., vol. 52, Springer-Verlag, New York, 1977. | DOI | MR | Zbl

[10] S. Keel & S. Mori - “Quotients by groupoids”, Ann. of Math. (2) 145 (1997), no. 1, p. 193-213. | MR | Zbl

[11] J. Kollár & N. I. Shepherd-Barron - “Threefolds and deformations of surface singularities”, Invent. Math. 91 (1988), no. 2, p. 299-338. | EuDML | MR | Zbl

[12] G. Laumon & L. Moret-Bailly - Champs algébriques, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), vol. 39, Springer-Verlag, Berlin, 2000. | DOI | MR | Zbl

[13] D. Mumford - Abelian varieties, Oxford University Press, Oxford, 1970. | MR | Zbl

[14] -, “An analytic construction of degenerating abelian varieties over complete rings”, Compositio Math. 24 (1972), p. 239-272. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[15] D. Mumford, J. Fogarty & F. Kirwan - Geometric invariant theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2), vol. 34, Springer-Verlag, Berlin, 1994, 3e édition. | DOI | MR | Zbl

[16] I. Nakamura - “On moduli of stable quasi abelian varieties”, Nagoya Math. J. 58 (1975), p. 149-214. | DOI | MR | Zbl

[17] -, “Stability of degenerate abelian varieties”, Invent. Math. 136 (1999), no. 3, p. 659-715. | MR | Zbl

[18] Y. Namikawa - “A new compactification of the Siegel space and degeneration of Abelian varieties I& II”, Math. Ann. 221 (1976), no. 2, p. 97-141, pp. 201-241. | EuDML | MR | Zbl

[19] -, Toroidal compactification of Siegel spaces, Lect. Notes in Math., vol. 812, Springer, Berlin, 1980. | MR | Zbl

[20] T. Oda & C. S. Seshadri - “Compactifications of the generalized Jacobian variety”, Trans. Amer. Math. Soc. 253 (1979), p. 1-90. | DOI | MR | Zbl

[21] M. C. Olsson - “Canonical compactifications of moduli spaces for abelian varieties”, http://www.ma.utexas.edu/~molsson/.

[22] M. Raynaud - “Spécialisation du foncteur de Picard”, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. (1970), no. 38, p. 27-76. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[23] -, “Compactification du module des courbes”, in Séminaire Bourbaki (1970/1971), Lect. Notes in Math., vol. 244, Springer, Berlin, 1971, exp. no. 385, p. 47-61. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[24] C. Traverso - “Seminormality and Picard group”, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3) 24 (1970), p. 585-595. | EuDML | Numdam | MR | Zbl