Fonctions PSH sur une variété presque complexe

Haggui, Fathi

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 335 (2002) no. 6, pp. 509-514.

Soit (M,J) une variété presque complexe. Une application u :(M,J)→[−∞,+∞[ semi-continue supérieurement est dite plurisousharmonique si u∘ϕ est sousharmonique, pour toute courbe pseudo-holomorphe ϕ :(Δ,J₀)→(M,J). En utilisant des techniques de régularisation des courants et des développements de Taylor dans des coordonnées locales adaptées à la structure J, on démontre qu'une application u :(M,J)→[−∞,+∞[ semi-continue supérieurement et non identiquement égale à −∞ est plurisousharmonique si et seulement si la partie de type (1,1) de $-\mathrm{d}{J}^{*}\mathrm{d}u$ est (semi-)positive au sens des courants.

Let (M,J) be an almost complex manifold. An upper semi-continuous map u:(M,J)→[−∞,+∞[ is said to be plurisubharmonic if u∘ϕ is subharmonic for every pseudo-holomorphic curve: ϕ:(Δ,J₀)→(M,J). By using regularization techniques for currents and Taylor series expansions in suitable coordinates with respect to the structure J, we prove that an upper semi-continuous map u:(M,J)→[−∞,+∞[ which is not identically equal to −∞ is plurisubharmonic if and only if the (1,1)-part of $-\mathrm{d}{J}^{*}\mathrm{d}u$ is (semi-)positive as a current.

[1] J.-P. Demailly, Analytic Geometry, http://www-fourier.ujf-grenoble.fr

[2] Demailly, J.-P. Regularization of closed positive currents of type (1,1) by the flow of a Chern connection (Skoda, H. et al., eds.), Contributions to Complex Analysis and Analytic Geometry. Based on a colloquium dedicated to Pierre Dolbeault, Paris, France, June 23–26, 1992, Aspects of Math. E, Vol. 26, Vieweg, Braunschweig, 1994, pp. 105-126

[3] Newlander, A.; Nirenberg, L. Complex analytic coordinates in almost complex manifolds, Ann. of Math., Volume 65 (1957), pp. 391-404

[4] McDuff, D.; Salamon, D. J-Holomorphic Curves and Quantum Cohomology, University Lecture Series, Vol. 6, American Mathematical Society, Providence, RI, 1994