On construit des solutions explosives d'équations d'onde avec non linéarité cubique, en dimension n⩾1. Leur norme Lp explose si la surface d'explosion admet un minimum intérieur non dégénéré et p⩾n/2. Si le second membre est peu régulier et 0<ε<1, on donne des exemples tels que la norme Lp explose si p⩾n/(1+ε) ; leurs données ne sont pas L∞ mais l'explosion n'est pas instantanée. Des applications en optique non linéaire sont brièvement mentionnées.
We find blow-up solutions of nonlinear wave equations with cubic nonlinearity, in any number of space dimensions, and study the asymptotic behavior of their Lp norms and “energy”. The Lp norm blows up if the blow-up surface has an interior non-degenerate minimum and p⩾n/2. For less smooth right-hand sides, and 0<ε<1, we give examples for which the Lp norm blows up if p⩾n/(1+ε); their Cauchy data are unbounded, but blow-up is not instantaneous. Applications to nonlinear optics are briefly outlined.
Publié le :
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Cabart, Gilles; Kichenassamy, Satyanad. Explosion et normes $ \mathrm{L}^{\mathbf{p}}$ pour l'équation des ondes nonlinéaire cubique. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 335 (2002) no. 11, pp. 903-908. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02606-7. http://archive.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02606-7/
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