La vitesse d'estimation de la densité en temps continu dépend de la nature des trajectoires observées : plus celles-ci sont « irrégulières », plus les vitesses de convergence sont bonnes. Dans cet esprit, nous donnons une vitesse de convergence presque sûre de l'estimateur à noyau de la densité dans le cas où les données sont délivrées sous une forme discrétisée. Le comportement de l'estimateur dépend de deux paramètres : r0, γ0 liés respectivement à la régularité de la densité estimée et à celle de la trajectoire. Nous proposons un estimateur adaptatif relativement à γ0 ainsi qu'un estimateur doublement adaptatif (par rapport à r0 et γ0). On établit ainsi que la vitesse de convergence obtenue dans le cas r0, γ0 connus est atteinte par ces estimateurs.
In continuous time, rates of convergence for nonparametric density estimators depend on the nature of sample paths: roughly speaking, the more ‘irregular’ the paths are, the better the rates are. In this framework, we give the pointwise rate of convergence of the kernel density estimator in the case of sampled observations. Behaviour of the estimator depends on two coefficients r0, γ0 respectively linked with regularity of density and regularity of sample paths. We propose an adaptive estimator relatively to γ0 as well as a doubly adaptive estimator (with respect to r0 and γ0). It is shown that the rate of convergence obtained in the case of known r0, γ0 is achieved by such adaptive estimators.
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Blanke, Delphine. Estimation adaptative de la densité avec données échantillonnées. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 337 (2003) no. 10, pp. 675-678. doi : 10.1016/j.crma.2003.09.027. http://archive.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2003.09.027/
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