The $ {L}^{2}$-Alexander torsions of 3-manifolds

Dubois, Jérôme; Friedl, Stefan; Lück, Wolfgang

doi:10.1016/j.crma.2014.10.012

Geometry/Topology

The

L^{2}

-Alexander torsions of 3-manifolds
[Torsions d'Alexander

L^{2}

pour les variétés de dimension trois]

Présenté par : Étienne Ghys

Dubois, Jérôme ¹ ; Friedl, Stefan ² ; Lück, Wolfgang ³

¹ Université Blaise Pascal – Laboratoire de Mathématiques, UMR 6620 – CNRS, Campus des Cézeaux – B.P. 80026, 63171 Aubière cedex, France
² Fakultät für Mathematik, Universität Regensburg, 93040 Regensburg, Germany
³ Mathematisches Institut, Universität Bonn, Endenicher Allee 60, 53115 Bonn, Germany

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 353 (2015) no. 1, pp. 69-73.

Résumé
Abstract

Le but de cette note est d'introduire les torsions d'Alexander $L^{2}$ (généralisations du polynôme d'Alexander usuel et de l'invariant d'Alexander $L^{2}$ défini par Li et Zhang [7]) et d'en donner le calcul pour les variétés graphées et les variétés fibrées de dimension 3. On annonce enfin que les torsions d'Alexander $L^{2}$ permettent de détecter la norme de Thurston d'une variété de dimension 3 irréductible et qu'elles sont symétriques.

The aim of this note is to introduce $L^{2}$ -Alexander torsions for 3-manifolds (which are generalizations of the usual Alexander polynomial and also of the $L^{2}$ -Alexander invariant defined by Li and Zhang [7]) and to report on calculations for graph manifolds and fibered 3-manifolds. We further announce that given any irreducible 3-manifold, there exists a coefficient system such that the corresponding $L^{2}$ -Alexander torsion detects the Thurston norm. Finally we also state a symmetry formula.

Reçu le : 2014-08-19
Accepté le : 2014-10-16
Publié le : 2014-11-04

DOI : 10.1016/j.crma.2014.10.012

Affiliations des auteurs :

Dubois, Jérôme ¹ ; Friedl, Stefan ² ; Lück, Wolfgang ³

@article{CRMATH_2015__353_1_69_0,
     author = {Dubois, J\'er\^ome and Friedl, Stefan and L\"uck, Wolfgang},
     title = {The $ {L}^{2}${-Alexander} torsions of 3-manifolds},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {69--73},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {353},
     number = {1},
     year = {2015},
     doi = {10.1016/j.crma.2014.10.012},
     language = {en},
     url = {http://archive.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2014.10.012/}
}

TY  - JOUR
AU  - Dubois, Jérôme
AU  - Friedl, Stefan
AU  - Lück, Wolfgang
TI  - The $ {L}^{2}$-Alexander torsions of 3-manifolds
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2015
SP  - 69
EP  - 73
VL  - 353
IS  - 1
PB  - Elsevier
UR  - http://archive.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2014.10.012/
DO  - 10.1016/j.crma.2014.10.012
LA  - en
ID  - CRMATH_2015__353_1_69_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Dubois, Jérôme
%A Friedl, Stefan
%A Lück, Wolfgang
%T The $ {L}^{2}$-Alexander torsions of 3-manifolds
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2015
%P 69-73
%V 353
%N 1
%I Elsevier
%U http://archive.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2014.10.012/
%R 10.1016/j.crma.2014.10.012
%G en
%F CRMATH_2015__353_1_69_0

Dubois, Jérôme; Friedl, Stefan; Lück, Wolfgang. The $ {L}^{2}$-Alexander torsions of 3-manifolds. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 353 (2015) no. 1, pp. 69-73. doi : 10.1016/j.crma.2014.10.012. http://archive.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2014.10.012/

Bibliographie
Cité par

[1] Ben Aribi, F. The $L^{2}$ -Alexander invariant detects the unknot, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 351 (2013), pp. 215-219

[2] Ben Aribi, F. The $L^{2}$ -Alexander invariant detects the unknot, 2013 (preprint 26 pp) | arXiv

[3] Dubois, J.; Wegner, C. Weighted $L^{2}$ -invariants and applications to knot theory, Commun. Contemp. Math. (2014) (in press) | DOI

[4] Fathi, A.; Laudenbach, F.; Poénaru, V. Travaux de Thurston sur les surfaces, Astérisque, Soc. Math. France, Paris, Volume 66–67 (1979)

[5] Friedl, S.; Kim, T.; Kitayama, T. Poincaré duality and degrees of twisted Alexander polynomials, Indiana Univ. Math. J., Volume 61 (2012), pp. 147-192

[6] Hillman, J.; Silver, D.; Williams, S. On reciprocality of twisted Alexander invariants, Algebr. Geom. Topol., Volume 10 (2010), pp. 2017-2026

[7] Li, W.; Zhang, W. An $L^{2}$ -Alexander invariant for knots, Commun. Contemp. Math., Volume 8 (2006) no. 2, pp. 167-187

[8] Li, W.; Zhang, W. An $L^{2}$ -Alexander–Conway invariant for knots and the volume conjecture, Differential Geometry and Physics, Nankai Tracts Math., vol. 10, World Sci. Publ., Hackensack, NJ, USA, 2006, pp. 303-312

[9] Li, W.; Zhang, W. Twisted $L^{2}$ -Alexander–Conway invariants for knots, Topology and Physics, Nankai Tracts Math., vol. 12, World Sci. Publ., Hackensack, NJ, USA, 2008, pp. 236-259

[10] Lück, W.; Schick, T. $L^{2}$ -torsion of hyperbolic manifolds of finite volume, Geom. Funct. Anal., Volume 9 (1999) no. 3, pp. 518-567

[11] Lück, W. $L^{2}$ -invariants: theory and applications to geometry and K-theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge, A Series of Modern Surveys in Mathematics, vol. 44, Springer-Verlag, Berlin, 2002

Cité par Sources :