Sur la détermination du périmètre de l'ovale à huit centres

Ginoux, Jean-Marc; Golvin, Jean-Claude

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 356 (2018) no. 11-12, pp. 1195-1202.

L'objet de cette note est de présenter l'histoire des principales recherches réalisées pour représenter une ellipse au moyen d'un ovale à huit centres et de les compléter en donnant une démonstration géométrique des formules exprimant les coordonnées des centres, des rayons et des angles aux centres des arcs de cercle constituant cet ovale. Ces formules permettront de déterminer son périmètre et donc d'approximer la valeur de celui de l'ellipse. Ce résultat pourrait s'avérer utile pour les archéologues, qui vérifieront ainsi l'hypothèse selon laquelle certains amphithéâtres romains, comme le Colisée, ont bien été construits à partir d'ovales à huit centres.

This note aims to present the history of the main researches carried out to represent an ellipse by means of an eight-centered oval and to complete them by giving a geometrical demonstration of the formulas expressing the coordinates of the centers, the radii and the central angles of these arcs of circles making up this oval. These formulas will make it possible to determine its perimeter and thus to approximate the value of that of the ellipse. This result could be useful for archaeologists, who will test the hypothesis according to which some Roman amphitheatres, such as the Coliseum, were built from eight-centered ovals.

[1] Almkvist, G.; Berndt, B. Gauss, Landen, Ramanujan, the arithmetic-geometric mean, ellipses, Π, and the ladies diary, Amer. Math. Mon., Volume 95 (1988) no. 7, pp. 585-608

[2] Barnard, R.W.; Pearce, K.; Schovanec, L. Inequalities for the perimeter of an ellipse, J. Math. Anal. Appl., Volume 260 (2001) no. 2, pp. 295-306

[3] Berndt, B. Ramanujan's Notebooks, vol. 3, Springer-Verlag, New York, 1991

[4] Boyer, C.B. The History of the Calculus and Its Conceptual Development, Dover, 1949

[5] Bronstein, I.N.; Semendiaev, K.A. Aide-mémoire de mathématiques, Eyrolles, Paris, 1990

[6] Camus, C.E.L., Durand (1750), pp. 526-536

[7] Chandrupatla, T.R.; Osler, T.J. The perimeter of an ellipse, Math. Sci., Volume 35 (2010), pp. 122-131

[8] Decorps-Foulquier, M. Recherches sur les Coniques d'Apollonius de Perge et leurs commentateurs grecs, Klincksieck, Paris, 2000

[9] Desgodetz, A. Les édifices antiques de Rome, 1682

[10] Docci, M. La forma del Colosseo: dieci anni di ricerche. Il dialogo con i gromatici romani, Disegnare idee immagini, vol. 18–19, Dipartimento del Rappresentazione e Rilievo dell'Universita degli Studi “La Sapienza” di Roma, Gangemi, Rome, 1999, pp. 23-32

[11] Euler, L. Animadversiones in rectificationem ellipsis (Observations sur la rectification des ellipses), Opuscula varii argumenti 2, 1750, pp. 121-166 Opera Omnia : 1(20) 21–55

[12] Fagnano, G. Produzioni matematiche, vol. 1 & 2, Nella Stamperia Gavelliana, In Pesaro, 1750

[13] Ginovart, J.L.; Toldra Domingo, J.M.; Fortuny Anguera, G.; Costa Jover, A.; de Sola-Morales Serra, P. The ellipse and the oval in the design of Spanish military defence in the eighteenth century, Nexus Netw. J., Volume 16 (2014) no. 3, pp. 587-612

[14] Ginovart, J.L.; Costa-Jover, A.; Coll-Pla, S.; Jori, R.M. The legacy of the geometry of Durer: the Fort of San Jorge (c.1724), Fort, Int. J. Fortif. Mil. Archit., Volume 43 (2015), pp. 156-167

[15] Golvin, J.-C. L'Amphithéâtre romain, Boccard, Paris, 1988

[16] Guillaumin, Y. Balbus présentation systématique de toutes les figures, Podismus et textes connexes, Jovene, Naples, Italie, 1996

[17] Herrera, B.; Samper, A. Definition and calculation of an eight-centered oval which is quasi-equivalent to the ellipse, J. Geom. Graph., Volume 19 (2015) no. 2, pp. 257-268

[18] Honey, F.R. The eight-centered oval and ellipse, Pop. Astron., Volume 16 (1908), pp. 617-619

[19] Ivory, J. A new series for the rectification of the ellipsis; together with some observations on the evolution of the formula (a2+b2−2abcos⁡ϕ)p, Trans. R. Soc. Edinb., Volume 4 (1796), pp. 177-190

[20] Mazzotti, A.A. All Sides to an Oval, Springer-Verlag International Publishing, 2017

[21] McLaurin, C. A Treatise of Fluxions in Two Books, vol. 2, T.W. and T. Ruddimans, Edinburgh, 1742

[22] Migliari, R. Principi teorici e prime acquisizioni nel rilievo del colosseo, Disegnare idee immagini, vol. 18–19, Dipartimento del Rappresentazione e Rilievo dell'Universita degli Studi “La Sapienza” di Roma, Gangemi, Rome, 1999, pp. 33-50

[23] Peano, G. Sur une formule d'approximation pour la rectification de l'ellipse, C. R. hebd. Séanc. Acad. Sci. Paris, Volume 109 (1889), pp. 960-961

[24] Raynaud, D. Le tracé continu des sections coniques à le Renaissance : applications optico-perspectives, héritage de la tradition mathématique arabe, Arabic Sci. Philos., Volume 17 (2007), pp. 239-345

[25] Rosin, P.L. A survey and comparison of traditional piecewise circular approximations to the ellipse, Comput. Aided Geom. Des., Volume 16 (1999) no. 4, pp. 269-286

[26] Rosin, P.L. On Serlio's constructions of ovals, Math. Intelligecer, Volume 23 (2001) no. 1, pp. 58-69

[27] Rosin, P.L.; Trucco, E. The amphitheatre construction problem, Rome, 13–15 December (2004)

[28] S. Serlio, Il primo libro d'Architettura di Sebastiano Serlio, bolognese, Le premier livre d'architecture de Sebastiano Serlio, Bolonoi, mis en langue francoyse par Iehan Martin, 1545.

[29] Tosca, T.V. Compendio Mathematico, en que se contienen todas las materias más principales de las ciencias, que tratan de la cantidad, Tomo I: Geometría Elemental, Aritmética Inferior, Geometría Práctica, Antonio Bordazar, 1707, pp. 292-295

[30] Trevisan, C. Sullo schema geometrico costruttivo degli anfiteatri romani: gli esempi del Colosseo e dell'Arena di Verona, Il Colosseo. Studi e ricerche in Disegnare idee immagini, vol. 18–19, Dipartimento del Rappresentazione e Rilievo dell'Universita degli Studi “La Sapienza” di Roma, Gangemi Editore, Rome, 1999, pp. 117-132

[31] Wilson Jones, M. Designing amphitheatres, Mitt. Dtsch. Archäol. Inst., Volume 100 (1993), pp. 391-441