For an exact differential form on a Riemannian manifold to have a primitive bounded by a given function , by Stokes it has to satisfy some weighted isoperimetric inequality. We show the converse up to some constants if has bounded geometry. For a volume form, it suffices to have the inequality ( for every compact domain ). This implies in particular the “well-known” result that if is the universal covering of a compact Riemannian manifold with non-amenable fundamental group, then the volume form has a bounded primitive. Thanks to a recent theorem of A.uk, we also obtain that if the fundamental group is infinite, the volume form always has a primitive with linear growth.
Pour qu’une forme différentielle exacte sur une variété riemannienne ait une primitive majorée par une fonction donnée, il faut d’après Stokes satisfaire une certaine inégalité isopérimétrique pondérée. Nous montrons une réciproque à des constantes près si la variété est à géométrie bornée. Pour une forme volume, l’inégalité ( pour tout domaine compact ) suffit. Ceci implique en particulier le résultat « bien connu » que si est le revêtement universel d’une variété riemannienne compacte à groupe fondamental non moyennable, la forme volume a une primitive bornée. Grâce à un théorème récent d’A.uk, nous obtenons aussi que si le groupe fondamental est infini, la forme volume a toujours une primitive à croisssance linéaire.
Keywords: exact differential form, isoperimetric inequalities, bounded geometry
Mot clés : forme différentielle exacte, inégalités isopérimétriques, géométrie bornée
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Sikorav, Jean-Claude. Growth of a primitive of a differential form. Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 129 (2001) no. 2, pp. 159-168. doi : 10.24033/bsmf.2390. http://archive.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2390/