Coleff-Herrera currents, duality, and noetherian operators
Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 139 (2011) no. 4, pp. 535-554.

Let be a coherent subsheaf of a locally free sheaf 𝒪(E 0 ) and suppose that =𝒪(E 0 )/ has pure codimension. Starting with a residue current R obtained from a locally free resolution of we construct a vector-valued Coleff-Herrera current μ with support on the variety associated to such that φ is in if and only if μφ=0. Such a current μ can also be derived algebraically from a fundamental theorem of Roos about the bidualizing functor, and the relation between these two approaches is discussed. By a construction due to Björk one gets Noetherian operators for from the current μ. The current R also provides an explicit realization of the Dickenstein-Sessa decomposition and other related canonical isomorphisms.

Soit un sous-faisceau cohérent d’un faisceau localement libre 𝒪(E 0 ) et supposons que =𝒪(E 0 )/ ait une codimension pure. En partant d’un courant résiduel R, obtenu à partir d’une résolution localement libre de , nous construisons un courant de Coleff-Herrera vectoriel μ à support sur la variété associée à , tel que φ soit dans si et seulement si μφ=0. Un tel courant μ peut également être dérivé algébriquement grâce à un théorème fondamental de Roos sur le foncteur bidualisant, et nous étudions le lien entre les deux approches. Par une construction due à Björk, on obtient des opérateurs noethériens pour à partir du courant μ. Le courant R nous fournit également une réalisation explicite de la décomposition de Dickenstein-Sessa, ainsi que d’autres isomorphismes canoniques afférents.

DOI: 10.24033/bsmf.2618
Classification: 32C30, 32A27
Keywords: Coleff-Herrera current, duality, noetherian operators, residue current
Mot clés : courant de Coleff-Herrera, dualité, opérateurs noethériens, courant résiduel
@article{BSMF_2011__139_4_535_0,
     author = {Andersson, Mats},
     title = {Coleff-Herrera currents, duality, and noetherian operators},
     journal = {Bulletin de la Soci\'et\'e Math\'ematique de France},
     pages = {535--554},
     publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
     volume = {139},
     number = {4},
     year = {2011},
     doi = {10.24033/bsmf.2618},
     mrnumber = {2869304},
     zbl = {1241.32007},
     language = {en},
     url = {http://archive.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2618/}
}
TY  - JOUR
AU  - Andersson, Mats
TI  - Coleff-Herrera currents, duality, and noetherian operators
JO  - Bulletin de la Société Mathématique de France
PY  - 2011
SP  - 535
EP  - 554
VL  - 139
IS  - 4
PB  - Société mathématique de France
UR  - http://archive.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2618/
DO  - 10.24033/bsmf.2618
LA  - en
ID  - BSMF_2011__139_4_535_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Andersson, Mats
%T Coleff-Herrera currents, duality, and noetherian operators
%J Bulletin de la Société Mathématique de France
%D 2011
%P 535-554
%V 139
%N 4
%I Société mathématique de France
%U http://archive.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2618/
%R 10.24033/bsmf.2618
%G en
%F BSMF_2011__139_4_535_0
Andersson, Mats. Coleff-Herrera currents, duality, and noetherian operators. Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 139 (2011) no. 4, pp. 535-554. doi : 10.24033/bsmf.2618. http://archive.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2618/

[1] M. Andersson - « Ideals of smooth functions and residue currents », J. Funct. Anal. 212 (2004), p. 76-88. | MR | Zbl

[2] -, « Integral representation with weights. II. Division and interpolation », Math. Z. 254 (2006), p. 315-332. | MR | Zbl

[3] -, « Uniqueness and factorization of Coleff-Herrera currents », Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. 18 (2009), p. 651-661. | Numdam | MR | Zbl

[4] M. Andersson & E. Wulcan - « Residue currents with prescribed annihilator ideals », Ann. Sci. École Norm. Sup. 40 (2007), p. 985-1007. | Numdam | MR | Zbl

[5] -, « Decomposition of residue currents », J. reine angew. Math. 638 (2010), p. 103-118. | MR | Zbl

[6] J.-E. Björk - Rings of differential operators, North-Holland Mathematical Library, vol. 21, North-Holland Publishing Co., 1979. | MR | Zbl

[7] -, « Residues and 𝒟-modules », in The legacy of Niels Henrik Abel, Springer, 2004, p. 605-651. | MR

[8] E. Cattani & A. Dickenstein - « Introduction to residues and resultants », in Solving polynomial equations, Algorithms Comput. Math., vol. 14, Springer, 2005, p. 1-61. | MR | Zbl

[9] N. R. Coleff & M. E. Herrera - Les courants résiduels associés à une forme méromorphe, Lecture Notes in Math., vol. 633, Springer, 1978. | MR | Zbl

[10] A. Dickenstein & C. Sessa - « Canonical representatives in moderate cohomology », Invent. Math. 80 (1985), p. 417-434. | MR | Zbl

[11] L. Ehrenpreis - Fourier analysis in several complex variables, Pure and Applied Mathematics, vol. XVII, Wiley-Interscience, 1970. | MR | Zbl

[12] D. Eisenbud - Commutative algebra, Graduate Texts in Math., vol. 150, Springer, 1995. | MR | Zbl

[13] L. Hörmander - An introduction to complex analysis in several variables, revised éd., North-Holland Publishing Co., 1973. | MR | Zbl

[14] J. Lundqvist - « A local Grothendieck duality theorem for Cohen-Macaulay ideals », to appear in Math Scand. | MR | Zbl

[15] U. Oberst - « The construction of Noetherian operators », J. Algebra 222 (1999), p. 595-620. | MR | Zbl

[16] V. P. Palamodov - Linear differential operators with constant coefficients, Die Grundl. Math. Wiss., vol. 168, Springer, 1970. | MR | Zbl

[17] M. Passare - « Residues, currents, and their relation to ideals of holomorphic functions », Math. Scand. 62 (1988), p. 75-152. | MR | Zbl

[18] J.-E. Roos - « Bidualité et structure des foncteurs dérivés de lim dans la catégorie des modules sur un anneau régulier », C. R. Acad. Sci. Paris 254 (1962), p. 1720-1722. | MR | Zbl

Cited by Sources: