A note on Frobenius divided modules in mixed characteristics

Berthelot, Pierre

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 140 (2012) no. 3, pp. 441-458.

Si $X$ est un schéma lisse sur un corps parfait de caractéristique $p$, et si ${𝒟}_X^{\left(\infty \right)}$ est le faisceau des opérateurs différentiels sur $X$ [7], on sait que donner une action de ${𝒟}_X^{\left(\infty \right)}$ sur un ${𝒪}_X$-module $ℰ$ équivaut à donner une suite infinie de ${𝒪}_X$-modules descendant $ℰ$ par les itérés de l’endomorphisme de Frobenius de $X$ [5]. Nous montrons que ce résultat peut être généralisé au cas d’un morphism lisse $X\to S$ qui est une déformation infinitésimale d’un morphisme de caractéristique $p$, munie de relèvements des morphismes de Frobenius. Nous montrons aussi qu’il s’étend aux schémas formels adiques tels que $p$ appartienne à un idéal de définition. Ce résultat a été utilisé par dos Santos [12] pour relever les ${𝒟}_X^{\left(\infty \right)}$-modules de la caractéristique $p$ à la caractéristique $0$ en contrôlant le groupe de Galois différentiel du relèvement.

If $X$ is a smooth scheme over a perfect field of characteristic $p$, and if ${𝒟}_X^{\left(\infty \right)}$ is the sheaf of differential operators on $X$ [7], it is well known that giving an action of ${𝒟}_X^{\left(\infty \right)}$ on an ${𝒪}_X$-module $ℰ$ is equivalent to giving an infinite sequence of ${𝒪}_X$-modules descending $ℰ$ via the iterates of the Frobenius endomorphism of $X$ [5]. We show that this result can be generalized to any infinitesimal deformation $f:X\to S$ of a smooth morphism in characteristic $p$, endowed with Frobenius liftings. We also show that it extends to adic formal schemes such that $p$ belongs to an ideal of definition. In [12], dos Santos used this result to lift ${𝒟}_X^{\left(\infty \right)}$-modules from characteristic $p$ to characteristic $0$ with control of the differential Galois group.

[1] P. Berthelot - « $𝒟$-modules arithmétiques. I. Opérateurs différentiels de niveau fini », Ann. Sci. École Norm. Sup. 29 (1996), p. 185-272. | Numdam | MR | Zbl

[2] -, « $𝒟$-modules arithmétiques. II. Descente par Frobenius », Mém. Soc. Math. Fr. (N.S.) 81 (2000). | Numdam | Zbl

[3] -, « Introduction à la théorie arithmétique des $𝒟$-modules », Astérisque 279 (2002), p. 1-80. | Numdam | Zbl

[4] P. Berthelot & A. Ogus - Notes on crystalline cohomology, Princeton Univ. Press, 1978. | MR | Zbl

[5] D. Gieseker - « Flat vector bundles and the fundamental group in non-zero characteristics », Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. 2 (1975), p. 1-31. | Numdam | MR | Zbl

[6] A. Grothendieck - « Éléments de géométrie algébrique. IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas. III », Publ. Math. I.H.É.S. 28 (1966). | Numdam | Zbl

[7] -, « Éléments de géométrie algébrique. IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas IV », Publ. Math. I.H.É.S. 32 (1967). | Numdam | Zbl

[8] -, « Crystals and the de Rham cohomology of schemes », in Dix Exposés sur la Cohomologie des Schémas, North-Holland, 1968, p. 306-358. | MR | Zbl

[9] L. Illusie & M. Raynaud - « Les suites spectrales associées au complexe de de Rham-Witt », Publ. Math. I.H.É.S. 57 (1983), p. 73-212. | Numdam | MR | Zbl

[10] N. M. Katz - « Nilpotent connections and the monodromy theorem: Applications of a result of Turrittin », Publ. Math. I.H.É.S. 39 (1970), p. 175-232. | Numdam | MR | Zbl

[11] B. H. Matzat - « Integral $p$-adic differential modules », in Groupes de Galois arithmétiques et différentiels, Sémin. Congr., vol. 13, Soc. Math. France, 2006, p. 263-292. | MR | Zbl

[12] J. P. Dos Santos - "Lifting $D$-modules from positive to zero characteristic", preprint | Numdam | Zbl