The Painlevé equations have rational or algebraic solutions on special parameters. We can find rational or algebraic solutions of the Painlevé equations as fixed points of the Bäcklund transformations. The function of the rational or algebraic solution can be written as the product of a special polynomial and an exponential factor. Since a series of functions satisfies the Toda equation, we obtain a recursive relation of the special polynomials. The coefficients of the special polynomials for the sixth Painlevé equation are described by the Young diagram.
(The original manuscript by the author was submitted to the proceeding of the Montreal conference in 1996, which were not published. The abstract was not part of the original manuscript and has not been written by the author.)
Pour certaines valeurs spéciales des paramètres, les équations de Painlevé ont des solutions algébriques ou rationnelles. Elles sont associées aux points fixes des transformations de Bäcklund. La fonction de la solution rationnelle ou algébrique peut alors être écrite comme un produit de polynômes spéciaux et d’un facteur exponentiel. Puisque une série de fonctions satisfait l’équation de Toda, nous obtenons une relation de récurrence pour les polynômes spéciaux. Pour la sixième équation de Painlevé les coefficients des polynômes spéciaux sont décrits à l’aide de diagrammes de Young.
(Le manuscrit original a été soumis aux comptes-rendus de la conférence de Montréal en 1996, qui n’ont pas été publiés. Le résumé ne faisait pas partie du manuscrit original et il n’a pas été rédigé par l’auteur.)
@article{AFST_2020_6_29_5_1063_0, author = {Umemura, Hiroshi}, title = {Special polynomials associated with the {Painlev\'e} equations {I}}, journal = {Annales de la Facult\'e des sciences de Toulouse : Math\'ematiques}, pages = {1063--1089}, publisher = {Universit\'e Paul Sabatier, Toulouse}, volume = {Ser. 6, 29}, number = {5}, year = {2020}, doi = {10.5802/afst.1657}, language = {en}, url = {http://archive.numdam.org/articles/10.5802/afst.1657/} }
TY - JOUR AU - Umemura, Hiroshi TI - Special polynomials associated with the Painlevé equations I JO - Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques PY - 2020 SP - 1063 EP - 1089 VL - 29 IS - 5 PB - Université Paul Sabatier, Toulouse UR - http://archive.numdam.org/articles/10.5802/afst.1657/ DO - 10.5802/afst.1657 LA - en ID - AFST_2020_6_29_5_1063_0 ER -
%0 Journal Article %A Umemura, Hiroshi %T Special polynomials associated with the Painlevé equations I %J Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques %D 2020 %P 1063-1089 %V 29 %N 5 %I Université Paul Sabatier, Toulouse %U http://archive.numdam.org/articles/10.5802/afst.1657/ %R 10.5802/afst.1657 %G en %F AFST_2020_6_29_5_1063_0
Umemura, Hiroshi. Special polynomials associated with the Painlevé equations I. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 29 (2020) no. 5, pp. 1063-1089. doi : 10.5802/afst.1657. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/afst.1657/
[1] Special polynomials associated with the Painlevé equations. II, Integrable systems and algebraic geometry (Kobe/Kyoto, 1997), World Scientific, 1998, pp. 349-372
[2] On the Umemura polynomials (in preparation)
[3] Studies on the Painlevé equations III, Math. Ann., Volume 275 (1986), pp. 221-255
[4] Studies on the Painlevé equations I, Ann. Mat. Pura Appl., Volume 146 (1987), pp. 337-381
[5] Studies on the Painlevé equations II, Jap. J. Math., Volume 13 (1987), pp. 47-76
[6] Studies on the Painlevé equations IV, Funk. Ekv., Volume 30 (1987), pp. 305-332
[7] Irreducibility of the Painlevé equations - Evolution in the past 100 years “in this volume”. published as “100 years of the Painlevé equation”, Sûgaku 51 (1999), no. 4, 395–420
[8] Special polynomials associated with the Painlevé equations II (in preparation)
[9] On the irreducibility of the first differential equation of Painlevé, Algebraic geometry and Commutative algebra in honor of Masayoshi Nagata, Konokuniya Company Ltd, 1988, pp. 101-119 | Zbl
[10] Solutions of the second and fourth Painlevé equations I, Nagoya Math. J., Volume 148 (1997), pp. 151-198
[11] On rational solutions of the second Painlevé equation, Differ. Uravn, Volume 1 (1965), pp. 58-59
[12] A course of modern analysis, Cambridge University Press, 1935
[13] On rational solutions of the second Painlevé equation, Vesti A.N. BSSR., Ser. Fiz-Tekh. Nauk., Volume 3 (1959), pp. 30-35 (in Russian)
Cited by Sources: