On finitely generated closed ideals in $H^{\infty }\left(D\right)$

Bourgain, Jean

Annales de l'Institut Fourier, Tome 35 (1985) no. 4, pp. 163-174.

Soit $f_1,...,f_N$ un nombre fini de fonctions dans l’espace $H^{\infty }\left(D\right)$ des fonctions bornées analytiques dans le disque unité ouvert $D$. Nous donnons une condition suffisante pour qu’une fonction $f$ dans $H^{\infty }\left(D\right)$ appartienne à l’adhérence pour la norme de l’idéal $I(f_1,...,f_N)$ engendré par $f_1,...,f_N$, notamment la propriété

$$\left|f\right(z\left)\right|\le \alpha \left(\right|f_1\left(z\right)|+...+|f_N\left(z\right)\left|\right)\text{pour}z\in D$$

où $\alpha$ est une fonction sur ${\mathbf{R}}_{+}$ telle que ${lim}_{t\to 0}\frac{\alpha \left(t\right)}{t}=0$. Le point essentiel est une amélioration dans la construction du contour, due à L. Carleson, liée au théorème de la couronne. Il est démontré aussi que la propriété

$$\left|f\left(z\right)\right|\le C\underset{1\le j\le N}{max}\left|f_j\left(z\right)\right|\text{pour}z\in D$$

pour une constante $C$, n’entraîne pas nécessairement que $f$ est dans l’adhérence de $I(f_1,...,f_N)$.

Assume $f_1,...,f_N$ a finite set of functions in $H^{\infty }\left(D\right)$, the space of bounded analytic functions on the open unit disc. We give a sufficient condition on a function $f$ in $H^{\infty }\left(D\right)$ to belong to the norm-closure of the ideal $I(f_1,...,f_N)$ generated by $f_1,...,f_N$, namely the property

$$\left|f\right(z\left)\right|\le \alpha \left(\right|f_1\left(z\right)|+...+|f_N\left(z\right)\left|\right)\text{for}z\in D$$

for some function $\alpha$ : ${\mathbf{R}}_{+}\to {\mathbf{R}}_{+}$ satisfying ${lim}_{t\to 0}\alpha \left(t\right)/t=0.$ The main feature in the proof is an improvement in the contour-construction appearing in L. Carleson’s solution of the corona-problem. It is also shown that the property

$$\left|f\left(z\right)\right|\le C\underset{1\le j\le N}{max}\left|f_j\left(z\right)\right|\text{for}z\in D$$

for some constant $C$, does not necessary imply that $f$ is in the closure of $I(f_1,...,f_N)$.

[1] L. Carleson, Interpolation of bounded analytic functions and the corona problem, Annals of Math., 76 (1962), 547-552. | MR | Zbl

[2] P. Duren, Theory of Hp-spaces, Academic Press, New York, 1970. | MR | Zbl

[3] B. Dahlberg, Approximation by harmonic functions, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 30-2 (1980), 97-101. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[4] J. Garnett, Bounded analytic functions, Academic Press, New York, 1980. | MR