On finitely generated closed ideals in H (D)
Annales de l'Institut Fourier, Tome 35 (1985) no. 4, pp. 163-174.

Soit f 1 ,...,f N un nombre fini de fonctions dans l’espace H (D) des fonctions bornées analytiques dans le disque unité ouvert D. Nous donnons une condition suffisante pour qu’une fonction f dans H (D) appartienne à l’adhérence pour la norme de l’idéal I(f 1 ,...,f N ) engendré par f 1 ,...,f N , notamment la propriété

|f(z)|α(|f1(z)|+...+|fN(z)|)pourzD

α est une fonction sur R + telle que lim t0 α(t) t=0. Le point essentiel est une amélioration dans la construction du contour, due à L. Carleson, liée au théorème de la couronne. Il est démontré aussi que la propriété

|f(z)|Cmax1jN|fj(z)|pourzD

pour une constante C, n’entraîne pas nécessairement que f est dans l’adhérence de I(f 1 ,...,f N ).

Assume f 1 ,...,f N a finite set of functions in H (D), the space of bounded analytic functions on the open unit disc. We give a sufficient condition on a function f in H (D) to belong to the norm-closure of the ideal I(f 1 ,...,f N ) generated by f 1 ,...,f N , namely the property

|f(z)|α(|f1(z)|+...+|fN(z)|)forzD

for some function α : R + R + satisfying lim t0 α(t)/t=0. The main feature in the proof is an improvement in the contour-construction appearing in L. Carleson’s solution of the corona-problem. It is also shown that the property

|f(z)|Cmax1jN|fj(z)|forzD

for some constant C, does not necessary imply that f is in the closure of I(f 1 ,...,f N ).

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TY  - JOUR
AU  - Bourgain, Jean
TI  - On finitely generated closed ideals in $H^\infty (D)$
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1985
DA  - 1985///
SP  - 163
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ER  - 
Bourgain, Jean. On finitely generated closed ideals in $H^\infty (D)$. Annales de l'Institut Fourier, Tome 35 (1985) no. 4, pp. 163-174. doi : 10.5802/aif.1032. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.1032/

[1] L. Carleson, Interpolation of bounded analytic functions and the corona problem, Annals of Math., 76 (1962), 547-552. | MR 141789 | Zbl 0112.29702

[2] P. Duren, Theory of Hp-spaces, Academic Press, New York, 1970. | MR 268655 | Zbl 0215.20203

[3] B. Dahlberg, Approximation by harmonic functions, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 30-2 (1980), 97-101. | EuDML 74453 | Numdam | MR 584274 | Zbl 0417.31005

[4] J. Garnett, Bounded analytic functions, Academic Press, New York, 1980. | MR 628971

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