Introduction de poids dans l'étude de problèmes aux limites

Morel, Henri

Annales de l'Institut Fourier, Tome 12 (1962), pp. 299-413.

On résout certains problèmes aux limites en introduisant des poids dans la construction des espaces de données et de solutions : les normes utilisées se calculent en intégrant une forme quadratique des dérivées d’une fonction, pour des mesures $h_{i}dx$, où $dx$ est la mesure de Lebesgue sur un ouvert ; le poids $h_i$ est localement intégrable, positif ; $h_i^{-1}$ est localement borné, et $h_i$ est nulle ou singulière sur une partie de la frontière pour nous sortir du cas classique ; en même temps que les $h_i$, il faut introduire des fonctions auxiliaires $p$ et $q$ ; on obtient alors des théorèmes d’isomorphisme à l’aide du théorème de représentation de Lax-Milgram ou de sa variante figurant dans la thèse de Lions. On utilise certaines inégalités, pour lesquelles il a fallu chercher les meilleures constantes.

Les théorèmes d’isomorphisme obtenus permettent de résoudre des problèmes de Dirichlet, de Neumann ou de type mixte, avec des espaces nouveaux. On peut alors traiter par cette méthode des opérateurs elliptiques à coefficients singuliers. D’autre part, les espaces de solutions introduits permettent d’avoir divers types de conditions de nullité au bord. On discute la méthode employée. Certains cas limites conduisent à des théorèmes d’existence sans unicité. Deux questions auxiliaires ont été traitées au préalable : la question de savoir si les espaces construits sont des espaces de distributions, qui nous conduit à certains critères, et la caractérisation des éléments de ces espaces par l’étude de leur comportement au bord.

Dans un deuxième chapitre, on introduit des poids dans des méthodes d’application du théorème de Hille-Yosida à des problèmes d’évolution.

[1] N. Aronszajn, On coercive integro-differential quadratic forms. Conference on Partial Differential equations, Univ. Kansas, 1954, Tech. Rep.n° 14, pp. 94-106. | Zbl

[2] N. Aronszajn, A unique continuation theorem for solutions of elliptic partial differential equations or inequalities of second order, J. Math. Pures Appl., 36, 1957, pp. 235-249. | MR | Zbl

[3] C. Blanc, Les équations différentielles de la technique, Éditions du Griffon, 1947, Neuchâtel. | MR | Zbl

[4] N. Bourbaki, Topologie générale, Paris, Hermann.

[5] N. Bourbaki, Intégration, Paris, Hermann, 1952.

[6] N. Bourbaki, Intégration des mesures, Paris, Hermann, 1956.

[7] N. Bourbaki, Espaces vectoriels topologiques I, Paris, Hermann, 1953.

[8] N. Bourbaki, Espaces vectoriels topologiques II, Paris, Hermann, 1955.

[9] M. Brelot, Sur l'allure des fonctions harmoniques et sous-harmoniques à la frontière, Math. Nachr. 4, 1950, pp. 298-307. | MR | Zbl

[10] M. Brelot, La théorie moderne du potentiel. Annales de l'Institut Fourier (1952), pp. 112-139. | Numdam | Zbl

[11] P. Brousse et H. Poncin, Quelques résultats généraux concernant la détermination de solutions d'équations elliptiques par les conditions aux frontières. Jubilé Scientifique de M. P. Riabonchinsky, Publ. Sci. et techn. du Ministère de l'Air, Paris, 1954.

[12] Beurling, A. Deny, J. — Dirichlet spaces, Proc. nat. Acad. Sci. U.S.A. t. 45, 1959, p. 208-215. | MR | Zbl

[13] T. Carleman, Sur les systèmes linéaires aux dérivées partielles du premier ordre à deux variables. C. R. Acad. Sci., Paris, vol. 197, 1933, pp. 471-474. | JFM | Zbl

[14] H. Cartan, Théorie générale du balayage en potentiel newtonien. Annales Univ. Grenoble, Math. Phys., 22 (1946), pp. 221-280. | Numdam | MR | Zbl

[15] G. Choquet, Existence et unicité des représentations intégrales au moyen des points extrémaux dans les cônes convexes. Sem. Bourbaki, Décembre 1956. | Numdam

[16] H. O. Cordes, Uber die Bestimmheit der Lösungen elliptischer Differential gleichungen durch Anfangsvorgaben, Nachr. Akad. Wiss. Göttingen Math. Phys.,n° 11 (1956), pp. 239-258. | Zbl

[17] J. Deny, Les potentiels d'énergie finie. Acta Math., 82 (1950), pp. 107-183. | MR | Zbl

[18] J. Deny et J. L. Lions, Les espaces du type de Beppo Levi. Annales de l'Institut Fourier, V (1953-1954), pp. 305-370. | Numdam | MR | Zbl

J. Deny, Voir Beurling-Deny.

[19] Dieudonné-Schwartz, La dualité dans les espaces F et LF. Annales de l'Institut Fourier, tome I, 1949, pp. 61-101. | Numdam | Zbl

[20] K. O. Friedrichs, On the differentiability of the solutions of linear elliptic differential equations, Comm. on Pure and Applied Math., VI (1953), pp. 299-325. | MR | Zbl

[21] L. Gårding, Dirichlet Problem for linear elliptic partial differential equations, Math. Scand., 1 (1953), pp. 55-72. | MR | Zbl

[22] I. M. Gel'Fand et G. E. Šilov, Fourier transforms of rapidly increasing functions and questions of uniqueness of the solution of Cauchy's problem. Am. Math. Soc. Translations, Séries 2, vol. 5 et Uspehi Mat. Nauk (N. S.) 8, n° 6 (58), pp. 3-54 (1953). | Zbl

[23] Grothendieck, Sur les espaces (F) et (DF), Summa Brasiliensis, Math., vol. 3, 1954, pp. 57-123. | MR | Zbl

[24] Hadamard, Le problème de Cauchy et les équations aux dérivées partielles linéaires hyperboliques, Paris, 1932. | JFM | Zbl

[25] G. H. Hardy, J. E. Littlewood et G. Polya, Inequalities, Cambridge, at the University Press, 1952. | MR | Zbl

[26] E. Heinz, Uber die Eindeutigkeit beim Cauchyschen Anfangswertproblem einer elliptischen Differentialgleichung zweiter Ordnung, Nachr. Akad. Wiss. Göttingen Math. Phys.,n°1 (1955), pp. 1-12. | MR | Zbl

[27] M. Hervé, Quelques propriétés des transformations intérieures d'un domaine borné, Paris, Gauthier-Villars, 1951. | Numdam | MR | Zbl

[28] Hille, Functional analysis and semi-groups. Amer. Math. Soc. Coll. Publ. XXXI, New-York, 1948. | MR | Zbl

[29] L. Hörmander, On the theory of general partial differential operators. Acta Math., t. 94, 1955, p. 160. | MR | Zbl

[30] L. Hörmander et J. L. Lions, Sur la complétion par rapport à une intégrale de Dirichlet. Math. Scand., t. 4, 1956, p. 259. | MR | Zbl

[31] L. Hörmander, Unicity of the Cauchy's problem, Math. Scand., 1958.

[32] A. Huber, Some results on generalised axially symmetric potential. Proceedings of the Conference on Differential Equations, University of Maryland, 1955. | Zbl

[33] D. Huet, Phénomènes de perturbation singulière dans les problèmes aux limites. Annales de l'Institut Fourier, X (1960), pp. 67-150. | Numdam | MR | Zbl

Ladyzenskaya, voir VISIK-LADYZENSKAYA.

[34] Peter Lax, A remark on the method of orthogonal projections. Comm. on Pure and Applied Math., IV (1951), pp. 457-464. | MR | Zbl

[35] J. Leray, La résolution des problèmes de Cauchy et de Dirichlet au moyen du calcul symbolique et des projections orthogonales et obliques. Séminaire Bourbaki, Mai 1951. | Numdam

[36] (Beppo-)Levi, Sul principio di Dirichlet. Rend. Palermo, 22 (1906), pp. 293-359. | JFM

J. L. Lions, Voir aussi Deny-Lions, Hörmander-Lions.

[37] J. L. Lions, Problèmes aux limites en théorie des distributions. Acta Mathematica, 94 (1955), pp. 13-151. | MR | Zbl

[38] J. L. Lions, Ouverts m-réguliers. Revista di la Union Matematica Argentina, XVII de Homenage à Beppo-Levi, pp. 103-116, Buenos-Aires, 1955. | MR | Zbl

[39] J. L. Lions, On elliptic partial differential equations. Cours professé à Bombay, Tata Institute, 1957.

[40] J. L. Lions, Sur les problèmes mixtes pour certains systèmes paraboliques dans des ouverts non cylindriques. Annales de l'Institut Fourier, 7 (1957). | Numdam | MR | Zbl

[41] J. L. Lions, Espaces intermédiaires entre espaces Hilbertiens et applications. Bull. Math. de la Soc. Sci. Math. Phys. de la R.P.R., 2 (50),n° 4, 1958. | MR | Zbl

[42] J. L. Lions, Quelques procédés d'interpolation d'opérateurs linéaires et quelques applications. Séminaire Schwartz, 5e année 1960-1961, exposés 1, 2, 3. | Numdam

[43] J. L. Lions et E. Magenes, Problemi ai limiti non omogenei (I). Scuola Normale Superiore, Pisa, 1960, pp. 269-308. | Numdam | MR | Zbl

[44] J. L. Lions et E. Magenes, Problèmes aux limites non homogènes (II) à paraître aux Annales de l'Institut Fourier, t. 11. | Numdam | MR | Zbl

J. E. Littlewood, Voir G. H. HARDY, J. E. LITTLEWOOD et G. POLYA.

E. Magenes, Voir J. L. LIONS et E. MAGENES.

[45] E. Magenes et G. I. Stampacchia, problemi al contorno per le equazioni differenziali di tipo ellitico. Scuola Normale Superiore, Pisa, 1958. | Numdam | Zbl

[46] B. Malgrange, Sur l'intégrale de Dirichlet. Math. Scand., 4 (1956), pp. 271-275. | MR | Zbl

[47] B. Malgrange, Sur une classe d'opérateurs différentiels hypoelliptiques. Bull. Soc. Math. de France, 85 (1957), pp. 283-306. | Numdam | MR | Zbl

[48] R. S. Martin, Minimal positive harmonic functions. Trans. Amer. Math. Soc., 49 (1941), pp. 125-159. | JFM | MR | Zbl

[49] C. B. Morrey et L. Nirenberg, On the analyticity of the solutions of linear elliptic systems of partial differential equations. Comm. on pure and applied math., X (1957), pp. 271-290. | MR | Zbl

[50] J. Moser, A new proof of de Giorgi's Theorem concerning the regularity problem for elliptic differential equations. Comm. on Pure and Applied Math., XIII (1960), pp. 457-468. | MR | Zbl

[51] C. Müller, On the behaviour of the solutions of the differential equation Δu = F(x, u) in the neighbourhood of a point. Comm. Pure and Applied, Math., 7 (1954), pp. 505-515. | Zbl

[52] L. Naïm, Sur le rôle de la frontière de R. S. Martin dans la théorie du Potentiel. Annales de l'Institut Fourier, t. 7, 1957, pp. 6-103. | Numdam | MR | Zbl

[53] Narasimham, M. S. Identity of the weak and strong extensions of a linear elliptic différential operator. Proc. Nat. Acad. Sci., 43, 1957, p. 513. | Zbl

L. Nirenberg, Voir MORREY-NIRENBERG.

[54] L. Nirenberg, On elliptic partial differential equations. Annali della Scuola Normale Superiore de Pisa, XIII (1959). | Numdam | MR | Zbl

[55] R. N. Pederson, On the unique continuation theorem for certain second and fourth order elliptic equations. Comm. on pure and applied Math., XI (1958), pp. 67-80. | MR | Zbl

[56] R. S. Phillips, Dissipative operators and hyperbolic systems of partial differential equations. Trans. Amer. Math. Soc., 90 (1959), pp. 193-254. | MR | Zbl

G. Polya, Voir G. H. HARDY, J. E. LITTLEWOOD et G. POLYA.

H. Poncin, Voir P. BROUSSE et H. PONCIN.

[57] E. T. Poulsen, Boundary value properties connected with some improper Dirichlet integrals. Math. Scand., 8 (1960), pp. 5-14. | MR | Zbl

[58] P. C. Rosenbloom, lecture notes : linear partial differential equations, Harvard University, 1957.

[59] J. Schauder, Uber lineare elliptische Differentialgleichungen zweiter ordnung. Math. Z., vol. 38, 1934, pp. 257-282. | JFM | Zbl

[60] J. Schauder, Numerische Abschätzungen in elliptischen linearen Differentialgleichungen, Studia Math., 5 (1934), pp. 34-42. | JFM | Zbl

[61] M. Schechter, On the Dirichlet problem for second order elliptic equations with coefficients singular at the boundary. Comm. on Pure and Applied Math., XIII, pp. 321-328. | MR | Zbl

L. Schwartz, Voir DIEUDONNÉ-SCHWARTZ.

[62] L. Schwartz, Théorie des distributions, t. 1, Paris, Hermann, 1950. | MR | Zbl

L. Schwartz, Théorie des distributions, t. 2, Paris, Hermann, 1951. | Zbl

[63] L. Schwartz, Les travaux de Gårding sur le problème de Dirichlet. Sem. Bourbaki, Mai, 1952. | Numdam

[64] L. Schwartz, Séminaire sur les équations aux dérivées partielles, 1954-1955 ; Séminaire sur les produits tensoriels topologiques, 1953-1954.

[65] L. Schwartz, Problèmes aux limites dans les équations aux dérivées partielles elliptiques, Second Coll. de Bruxelles sur les équations aux dérivées part. (1955), Masson, Paris. | MR | Zbl

[66] L. Schwartz, Ecuaciones diferenciales parciales elipticas. Curso explicado por el Profesor Laurent Schwartz, Bogota, D. E. Columbia, 1956.

[67] L. Schwartz, Théorie des distributions à valeurs vectorielles, I, Ann. Inst. Fourier, tome 7, 1957 ; II, Ann. Inst. Fourier, tome 8, 1959. | Numdam | MR | Zbl

[68] L. Schwartz, Particules élémentaires. Cours de Sao-Paulo, 1959, et Berkeley 1960.

[69] L. Schwartz, Séminaire, 1959-1960, Unicité du Problème de Cauchy. | Zbl

G. E. Šilov, Voir I. M. GEL'FAND et G. E. ŠILOV.

[70] Sobolev. Sur un théorème d'analyse fonctionnelle, Mat. Sbornik., 4 (46), (1938), p. 472. | Zbl

[71] Sobolev, Sur certaines applications de l'analyse fonctionnelle à la physique mathématique, Leningrad, 1950.

[72] G. Stampacchia, Séminaire, L. Schwartz, 1960-1961, Paris. | Numdam

G. Stampacchia, Voir E. MAGENES et G. STAMPACCHIA.

[73] F. Tréves, Relations entre opérateurs différentiels, Acta Math., t. 101, 1959, pp. 1-139. | MR | Zbl

[74] Visǐk et O. A. Ladyzenskaya, Boundary value problems for partial differential equations and certain classes of operator equations, Translation 10. | Zbl

[75] Visǐk et O. A. Ladyzenskaya, Краевые задачи для уравний в частных производных и некоторых классов операторных уравнений, Uspehi Mat. Nauk. (N.S.), 11 (1956), n° 6 (72), 41-97.

[76] M. I. Visčk, On general boundary problems for elliptic differential equation, Trudy Moskov, Mat. Obšč., vol. 1 (1952), pp. 187-246. | MR | Zbl

[77] Yosǐda, On the differentiability and the representation of one parameter semi-group of linear operators. Journal of the Math. Soc. of Japan, 1 (1948), pp. 15-21. | MR | Zbl

[78] Yosǐda, On Cauchy's problem in the large for wave equation. Proc. of the Japan Acad., 28 (1952), pp. 396-403. | MR | Zbl

[79] A. Weil, Intégration dans les groupes topologiques, Paris, Hermann. | Zbl

[80] H. Weyl, The method of orthogonal projection in potential theory. Duke Math. Journal, 7 (1940), pp. 411-444. | JFM | MR | Zbl

J. B. Diaz, Voir [89].

[81] J. L. Doob, Probability methods applied to the first boundary value problem. Proc. of the Third Berkeley Symp. on Math. Statistics and Probability, 2, 1954-1955, pp. 49-80 publié en 1956. | Zbl

[82] Dunford-Schwartz, Linear Operators, Part I, General theory. Pure Appl. Math., vol. 7 (1958). | Zbl

[83] Gagliardo, Caratterizzazioni della trace sulla frontiera relative ad alcune classi di funzioni in n variables. Rend Sem. Math. Univ. Padova, 27 (1957), pp. 284-305. | Numdam | MR | Zbl

[84] J. L. Lions, Équations différentielles opérationnelles et problèmes aux limites. Collection jaune, Springer, t. 111, 1961. | MR | Zbl

[85] J. L. Lions, Théorèmes de traces et d'interpolation (I). Annali Scuola Norm. Sup. Pisa, vol. 13 (1959), pp. 389-403. | Numdam | Zbl

[86] E. T. Poulsen, Boundary values in function spaces. A paraître. | Zbl

[87] A. A. Vacharin, Propriétés de traces, ..., Isv. Akad. Nauk., t. 23 (1959), pp. 421-454.

[88] A. Weinstein, Generalized axially symmetric potential theory. Bull. Amer. Math. Soc., vol. 59 (1953), pp. 20-38. | MR | Zbl

[89] J. B. Diaz et A. Weinstein, On the fundamental solution of a singular Beltrami-Operator, Studies in Math. and Mech presented to R. von Mises, Acad. Press. Inc., New-York (1954), pp. 97-102. | MR | Zbl

[90] J. L. Lions et H. Morel, Espaces singuliers et problèmes aux limites non homogènes. A paraître.

[91] P. K. Beesack, Hardy's Inequalities and its extensions. Pacific J. of Math., vol. 2, 1961, pp. 39-61, n° 1. | MR | Zbl