Les équations d'évolution liées au produit de composition

Schwartz, Laurent

Annales de l'Institut Fourier, Tome 2 (1950), pp. 19-49.

Une équation d’évolution d’un système physique est une équation matricielle de la forme

$$\frac{\partial }{\partial t}U(x,t)+\sum _{\left|p\right|\le m}{A}_p(x,t)D_x^{p}U(x,t)=B(x,t).$$

Lorsque les coefficients $A$ ne dépendent que de $t$, cette équation est un cas particulier de l’équation de composition qui, en termes de distributions, s’écrit :

$$\frac{d}{dt}{U}_x\left(t\right)+A_x(t{)}_{\left(x\right)}^{*}{U}_x\left(t\right)=B_x\left(t\right).$$

La méthode pour étudier une telle équation est la transformation de Fourier effectuée pour tout $t$ sur la variable spatiale $x$ seule. On trouve ainsi que le problème de Cauchy relatif aux données initiales pour $t=0$ n’a jamais plus d’une solution tempérée et on obtient aussi la condition nécessaire et suffisante pour qu’il en ait une. Dans ce cas, il existe une matrice résolvante $R_x(t,\tau )$ et la solution d’un problème de Cauchy est donné par

$$U_x\left(t\right)=R_x(t,t_0{)}_{\left(x\right)}^{*}{U}_x(t_0)+{\int }_{t_0}^t(R_x(t,\tau {)}_{\left(x\right)}^{*}{B}_x\left(\tau \right))d\tau .$$

Cette méthode est appliquée aux équations aux dérivées partielles classiques (équation de la chaleur, équation des ondes), dont on obtient aussitôt les solutions, et la solution élémentaire.