Les équations d'évolution liées au produit de composition
Annales de l'Institut Fourier, Volume 2 (1950), pp. 19-49.

Une équation d’évolution d’un système physique est une équation matricielle de la forme

t U ( x , t ) + | p | m A p ( x , t ) D x p U ( x , t ) = B ( x , t ) .

Lorsque les coefficients A ne dépendent que de t, cette équation est un cas particulier de l’équation de composition qui, en termes de distributions, s’écrit :

d d t U x ( t ) + A x ( t ) ( x ) * U x ( t ) = B x ( t ) .

La méthode pour étudier une telle équation est la transformation de Fourier effectuée pour tout t sur la variable spatiale x seule. On trouve ainsi que le problème de Cauchy relatif aux données initiales pour t=0 n’a jamais plus d’une solution tempérée et on obtient aussi la condition nécessaire et suffisante pour qu’il en ait une. Dans ce cas, il existe une matrice résolvante R x (t,τ) et la solution d’un problème de Cauchy est donné par

U x ( t ) = R x ( t , t 0 ) ( x ) * U x ( t 0 ) + t 0 t ( R x ( t , τ ) ( x ) * B x ( τ ) ) d τ .

Cette méthode est appliquée aux équations aux dérivées partielles classiques (équation de la chaleur, équation des ondes), dont on obtient aussitôt les solutions, et la solution élémentaire.

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Schwartz, Laurent. Les équations d'évolution liées au produit de composition. Annales de l'Institut Fourier, Volume 2 (1950), pp. 19-49. doi : 10.5802/aif.18. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.18/

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