Sur les équations aux différences en une variable

Marteau, Nicolas

Annales de l'Institut Fourier, Tome 50 (2000) no. 5, pp. 1589-1615.

Le sujet de cet article est l’étude des solutions continues sur $ℝ$ ou holomorphes sur $ℂ$ à valeurs complexes de systèmes de deux équations aux différences à coefficients polynomiaux

$$\sum _{j=0}^{j=J}{a}_j\left(x\right)f(x+{\alpha }_j)=\sum _{k=0}^{k=K}{b}_k\left(x\right)f(x+{\beta }_k)=0.$$

Avec des hypothèses convenables sur les pas des équations (de nature algébrique et géométrique dans le cas complexe), on montre que ces solutions sont des polynômes exponentiels ou des quotients de polynômes exponentiels par des polynômes. Ces résultats prolongent ceux de J.-P. Bézivin et F. Gramain d’une part et de N. Brisebarre et L. Habsieger d’autre part, parus aux Annales de l’Institut Fourier.

The subject of this article is the study of continuous solutions over $ℝ$ or holomorphic over $ℂ$ with complex values of a system of two differences equations with polynomial coefficients

$$\sum _{j=0}^{j=J}{a}_j\left(x\right)f(x+{\alpha }_j)=\sum _{k=0}^{k=K}{b}_k\left(x\right)f(x+{\beta }_k)=0.$$

With suitable hypothesis on the steps of the equations (of algebraic nature and geometric in the complex case), we prove that those solutions are exponential polynomials or quotients of an exponential polynomial by a polynomial. This work generalizes different results obtained by J.-P. Bézivin and F. Gramain, N. Brisebarre and L. Habsieger, published in the Annales de l’Institut Fourier.

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[TDN] Travaux de Tijedman-Van Der Poorten, Séminaire de Théorie des nombres, Bordeaux.