Axiomatic theory of harmonic functions. Balayage

Dans une axiomatique des fonctions harmoniques un peu plus générale que celle de H. Bauer, on démontre les relations suivantes :

$$R_{s+t}^A=R_s^A+R_t^A,$$

$$R_s^{A\cup B}+R_s^{A\cap B}\le R_s^A+R_s^B,$$

$$A_n\uparrow A,S_n\uparrow s\Rightarrow R_{s_n}^{A_n}\uparrow R_s^A,$$

où $A$, $B$, $A_n$, (resp. $s$, $t$, $s_n$) sont des ensembles (resp. fonctions hyperharmoniques non-négatives) arbitraires. Les mêmes relations sont valables pour $\widehat{R}$. On démontre aussi que la relation

$${\int }^{*}sd{\mu }^A={\int }^{*}{\widehat{R}}_s^{A}d\mu$$

a lieu si l’espace de base a une base dénombrable ou si l’axiome $D$ de M. Brelot est satisfait, $A$ étant contenu dans un ensemble $\sigma$-compact.

[1] H. Bauer, Axiomatische Behandlung des Dirichletschen Problems für elliptische und parabolische Differentialgleichungen, Math. Ann., 146 (1962), 1-59. | Zbl 0107.08003

[2] N. Boboc, C. Constantinescu and A. Cornea, Axiomatic theory of harmonic functions. Non-negative superharmonic functions, Ann. Inst. Fourier, 15, 1 (1965), 283-312. | Numdam | Zbl 0139.06604

[3] M. Brelot, Lectures on potential theory, Tata Institute of Fund. Reasearch, Bombay (1960). | Zbl 0098.06903

[4] R. M. Hervé, Recherches axiomatiques sur la théorie des fonctions surharmoniques et du potentiel, Ann. Inst. Fourier, 12 (1962), 415-571. | Numdam | Zbl 0101.08103