Recherches axiomatiques sur la théorie des fonctions surharmoniques et du potentiel

Hervé, Rose-Marie

Annales de l'Institut Fourier, Tome 12 (1962), pp. 415-571.

Ces recherches prolongent l’axiomatique des fonctions harmoniques de M. Brelot.

Dans un espace $\Omega$ localement compact, connexe et localement connexe, qu’on supposera le plus souvent à base dénombrable, les fonctions harmoniques satisfont à trois axiomes : le 1er est un axiome de faisceau ; le 2e pose l’existence d’une base de la topologie formée de domaines réguliers, c’est-à-dire pour lesquels le problème de Dirichlet admet une solution unique, croissant avec la donnée ; le 3e est une propriété de convergence par croissance, qui, pour certaines questions, est renforcée en une propriété du type de Harnack.

Les fonctions surharmoniques sont alors définies comme dans le cas classique, à l’aide des domaines réguliers et de la solution du problème de Dirichlet correspondant. Soit $S^{+}$ l’ensemble des fonctions surharmoniques $\ge 0$ dans $\Omega$ ; on suppose qu’il existe au moins une fonction $\in S^{+}$, non harmonique dans $\Omega$.

Une première partie de ces recherches est centrée sur un théorème de partition, permettant de décomposer toute fonction $\in S^{+}$ en deux autres, dont l’une est harmonique dans un ouvert $\omega$ donné et l’autre harmonique dans le complémentaire de $\overline{\omega }$. Ce théorème est le point de départ de la représentation intégrale des fonctions $\in S^{+}$, que l’on effectue en appliquant la théorie de G. Choquet sur les représentations intégrales, dans les cônes convexes, à l’aide des points extrémaux. On définit, pour cela, une topologie sur $S^{+}$, rendant ce cône métrisable et localement compact.

Une autre partie de ces recherches définit et étudie, sous des hypothèses un peu plus restreintes, les fonctions harmoniques adjointes à un système donné de fonctions harmoniques, généralisant les solutions de l’équation adjointe à une équation aux dérivées partielles du second ordre, de type elliptique : $Lu=0$.

Le dernier chapitre est consacré à l’étude des fonctions harmoniques, et harmoniques adjointes, associées à l’équation $Lu=0$.

[0] H. Bauer, Une axiomatique du problème de Dirichlet pour certaines équations elliptiques et paraboliques. C. R. Acad. Sc., Paris, 250, 1960, pp. 2672-2674 (60). | MR | Zbl

[1] M. Brelot, Étude de l'équation Δu = cu, c ≥ 0, au voisinage d'un point singulier de c. Ann. Ec. Norm. Sup., 48, 1931, pp. 153-246. | JFM | Numdam | Zbl

[2] M. Brelot, Sur l'allure des intégrales bornées de Δu = cu, c ≥ 0, au voisinage d'un point singulier de c. Bull. Sc. Math., 60, 1936, pp. 112-128. | JFM | Zbl

[3] M. Brelot, Familles de Perron et problème de Dirichlet. Acta Szeged, 9, 1939, pp. 133-153. | JFM | MR | Zbl

[4] M. Brelot, Sur les ensembles effilés. Bull. Sc. Math., 68, 1944, pp. 12-36. | MR | Zbl

[5] M. Brelot, Sur le rôle du point à l'infini dans la théorie des fonctions harmoniques. Ann. Ec. Norm. Sup., 61, 1944, pp. 301-332. | Numdam | MR | Zbl

[6] M. Brelot, Minorantes sousharmoniques, extrémales et capacités. Journal de Math., 24, 1945, pp. 1-32. | Numdam | MR | Zbl

[7] M. Brelot, Sur l'approximation et la convergence dans la théorie des fonctions harmoniques ou holomorphes. Bull. Soc. Math. France, 73, 1945, pp. 55-70. | Numdam | MR | Zbl

[8] M. Brelot, Le problème de Dirichlet ramifié. Ann. Univ. Grenoble, 22, 1946, pp. 167-200. | Numdam | MR | Zbl

[9] M. Brelot, Étude générale des fonctions harmoniques ou surharmoniques positives au voisinage d'un point-frontière irrégulier. Ann. Univ. Grenoble, 22, 1946, pp. 205-219. | Numdam | MR | Zbl

[10] M. Brelot, Sur le principe des singularités positives et la notion de source pour l'équation Δu = cu. Ann. Univ. Lyon, 11, 1948, pp. 9-19. | MR | Zbl

[11] M. Brelot, Sur le principe des singularités positives et la topologie de Martin. Ann. Univ. Grenoble, 23, 1948, pp. 113-138. | Numdam | MR | Zbl

[12] M. Brelot, Quelques propriétés et applications du balayage. C. R. Acad. Sc., Paris, 227, 1948, p. 19. | MR | Zbl

[13] M. Brelot, La théorie moderne du potentiel. Ann. Inst. Fourier, 4, 1952, p.p 113-140. | Numdam | MR | Zbl

[14] M. Brelot, Le problème de Dirichlet. Axiomatique et frontière de Martin. Journal de Math., 35, 1956, pp. 297-335. | MR | Zbl

[15] M. Brelot, Axiomatique du problème de Dirichlet dans les espaces localement compacts. Séminaire de Théorie du potentiel, 1957, Inst. H. Poincaré. | Numdam

[16] M. Brelot, Axiomatique des fonctions harmoniques et surharmoniques dans un espace localement compact. Séminaire de Théorie du potentiel, 1958, Inst. H. Poincaré. | Numdam

[17] M. Brelot, Éléments de la théorie classique du potentiel. Paris, C.D.U. 1959. | MR | Zbl

[18] M. Brelot, Lectures on potential theory. Bombay, Tata Inst., 1960, (Collection Math. n° 19.) | MR | Zbl

[19] M. Brelot, Sur un théorème de prolongement fonctionnel de Keldych concernant le problème de Dirichlet, Journal d'Analyse Math., 8, 1960-1961, pp. 273-288. | MR | Zbl

[20] M. Brelot, Introduction axiomatique de l'effilement. A paraître aux Annali di Matematica, 57, 1962. | MR | Zbl

[21] M. Brelot et G. Choquet, Espaces et lignes de Green. Ann. Inst. Fourier, 3, 1951, pp. 199-263. | Numdam | MR | Zbl

[22] M. Brelot et G. Choquet, Le théorème de convergence en théorie du potentiel. Journal Madras Univ., 27, 1957, pp. 277-286. | MR | Zbl

[23] M. Brelot et R. M. Hervé, Introduction de l'éffilement dans une théorie axiomatique du potentiel. C. R. Acad. Sc., Paris, 247, 1958, pp. 1956-1959. | MR | Zbl

[24] H. Cartan, Théorie du potentiel newtonien : énergie, capacité, suites de potentiels. Bull. Soc. Math. France, 73, 1945, pp. 74-106. | Numdam | MR | Zbl

[25] H. Cartan, Théorie générale du balayage en potentiel newtonien. Ann. Univ. Grenoble, 22, 1946, pp. 221-280. | Numdam | MR | Zbl

[26] G. Choquet, Theory of capacities. Ann. Inst. Fourier, 5, 1954, pp. 131-295. | Numdam | MR | Zbl

[27] G. Choquet, Unicité des représentations intégrales au moyen des points extrémaux dans les cônes convexes réticulés. C. R. Acad. Sc., Paris, 243, 1956, p. 555. | MR | Zbl

[28] G. Choquet, Existence des représentations intégrales au moyen des points extrémaux dans les cônes convexes. C. R. Acad. Sc., Paris, 243, 1956, p. 699. | MR | Zbl

[29] G. Choquet, Les noyaux réguliers en théorie du potentiel. C. R. Acad. Sc., Paris, 243, 1956, p. 635. | MR | Zbl

[30] G. Choquet, Sur les fondements de la théorie fine du potentiel. Séminaire de théorie du potentiel, 1957, Inst. H. Poincaré. | Numdam | MR

[31] G. Choquet, Sur les points d'effilement d'un ensemble. Application à l'étude de la capacité. Ann. Inst. Fourier, 9, 1959, pp. 91-102. | Numdam | MR | Zbl

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