Let be a connected complex Lie group, a closed, complex subgroup of and . Let be the radical and a maximal semisimple subgroup of . Attempts to construct examples of noncompact manifolds homogeneous under a nontrivial semidirect product with a not necessarily -invariant Kähler metric motivated this paper. The -orbit in is Kähler. Thus is an algebraic subgroup of [4]. The Kähler assumption on ought to imply the -action on the base of any homogeneous fibration is algebraic too. Natural considerations allow a reduction to the case where is a discrete subgroup and there is a homogeneous fibration with an abelian, normal subgroup of and the fiber a Cousin group. An algebraic condition does hold in the homogeneous manifold , where and , namely, an element of infinite order lying in a semisimple subgroup of is an obstruction to the existence of a Kähler metric on . So Kähler implies finite.
Soit un groupe de Lie complexe, un sous-groupe complexe fermé de , et . Soit le radical et un sous-groupe semi-simple maximal de . La construction d’exemples de variétés non compactes homogènes d’un produit semi-direct , possédant une métrique kählérienne pas nécessairement invariante par , a suscité ce travail. L’orbite de dans est kählérienne. Donc est un sous-groupe algébrique de [4]. La présence d’une structure kählérienne sur devrait impliquer que l’action de sur la base de chaque fibration homogène soit algébrique. Des considérations naturelles permettent de se placer dans le cas d’un sous-groupe discret et d’une fibration homogène , où le sous-groupe est abélien et normal dans et la fibre est un groupe de Cousin. Une telle condition algébrique existe alors dans cet espace homogène , où et . Ceci signifie que l’existence d’un élément d’ordre infini appartenant à un sous-groupe semi-simple de est une obstruction à l’existence d’une métrique kählérienne sur . Ainsi kählérien implique que fini.
Keywords: homogeneous complex manifolds, Kähler manifolds
Mot clés : espaces homogènes complexes, espaces kählériens
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Gilligan, Bruce. An obstruction to homogeneous manifolds being Kähler. Annales de l'Institut Fourier, Volume 55 (2005) no. 1, pp. 229-241. doi : 10.5802/aif.2097. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.2097/
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