Eulerian idempotent and Kashiwara-Vergne conjecture

Burgunder, Emily

Annales de l'Institut Fourier, Tome 58 (2008) no. 4, pp. 1153-1184.

Grâce à l’interaction entre l’idempotent de Dynkin et l’idempotent eulérien, on construit une solution particulière et symétrique $\left(F\right(x,y),F(-y,-x\left)\right)$ de la première équation de la conjecture de Kashiwara-Vergne :

$$x+y-log\left({\mathrm{e}}^y{\mathrm{e}}^x\right)=(1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{ad}x})F(x,y)+({\mathrm{e}}^{\mathrm{ad}y}-1)G(x,y).$$

Puis on explicite toutes les solutions de cette équation dans l’algèbre de Lie libre générée par les indéterminées $x$ et $y$ grâce au noyau de l’idempotent de Dynkin.

By using the interplay between the Eulerian idempotent and the Dynkin idempotent, we construct explicitly a particular symmetric solution $(F,G)$ of the first equation of the Kashiwara-Vergne conjecture

$$x+y-log\left({\mathrm{e}}^y{\mathrm{e}}^x\right)=(1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{ad}x})F(x,y)+({\mathrm{e}}^{\mathrm{ad}y}-1)G(x,y).$$

Then, we explicit all the solutions of the equation in the completion of the free Lie algebra generated by two indeterminates $x$ and $y$ thanks to the kernel of the Dynkin idempotent.

Classification : 17Bxx, 16W30, 20C30, 22E45
Keywords: Kashiwara-Vergne conjecture, Baker-Campbell-Hausdorff series, Eulerian idempotent, Dynkin idempotent, Hopf algebras
Mot clés : conjecture de Kashiwara-Vergne, série de Baker-Campbell-Hausdorff, idempotent Eulérien, idempotent de Dynkin, algèbre de Hopf

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