Let be a field of characteristic 0 and let be the function field of a smooth projective geometrically integral -curve . Let be a -torus. In this article, we aim at studying the space of adelic points of outside a finite set of closed points of . We start by proving that the group of rational points of is always discrete (hence closed) in . We then describe the quotient in each of the following three cases: is an algebraically closed field, is the field of Laurent series , and is a -adic field.
Soient un corps de caractéristique 0 et le corps des fonctions d’une -courbe projective lisse géométriquement intégre . Soit un -tore. Dans cet article, on cherche à étudier l’espace des points adéliques de hors d’un ensemble fini de points fermés de . On commence par montrer que le groupe des points rationnels de est toujours fermé discret dans . On décrit ensuite le quotient dans chacun des trois cas suivants : corps algébriquement clos, et corps -adique.
Revised:
Accepted:
Published online:
Mot clés : Approximation forte, Groupe algébrique linéaire, Sous-groupe divisible maximal, Suite de Poitou–Tate
Keywords: Strong approximation, Linear algebraic group, Maximal divisible subgroup, Poitou–Tate exact sequence
@article{AIF_2019__69_5_1915_0, author = {Harari, David and Izquierdo, Diego}, title = {L{\textquoteright}espace ad\'elique d{\textquoteright}un tore sur un corps de fonctions}, journal = {Annales de l'Institut Fourier}, pages = {1915--1954}, publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier}, volume = {69}, number = {5}, year = {2019}, doi = {10.5802/aif.3286}, language = {fr}, url = {http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.3286/} }
TY - JOUR AU - Harari, David AU - Izquierdo, Diego TI - L’espace adélique d’un tore sur un corps de fonctions JO - Annales de l'Institut Fourier PY - 2019 SP - 1915 EP - 1954 VL - 69 IS - 5 PB - Association des Annales de l’institut Fourier UR - http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.3286/ DO - 10.5802/aif.3286 LA - fr ID - AIF_2019__69_5_1915_0 ER -
%0 Journal Article %A Harari, David %A Izquierdo, Diego %T L’espace adélique d’un tore sur un corps de fonctions %J Annales de l'Institut Fourier %D 2019 %P 1915-1954 %V 69 %N 5 %I Association des Annales de l’institut Fourier %U http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.3286/ %R 10.5802/aif.3286 %G fr %F AIF_2019__69_5_1915_0
Harari, David; Izquierdo, Diego. L’espace adélique d’un tore sur un corps de fonctions. Annales de l'Institut Fourier, Volume 69 (2019) no. 5, pp. 1915-1954. doi : 10.5802/aif.3286. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.3286/
[1] Basic algebra. Groups, rings and fields, Springer, 2003, xii+465 pages | DOI | MR | Zbl
[2] Approximation forte pour les espaces homogènes de groupes semi-simples sur le corps des fonctions d’une courbe algébrique complexe, Eur. J. Math., Volume 4 (2018) no. 1, pp. 177-184 | DOI | MR | Zbl
[3] Remarques sur l’approximation faible sur un corps de fonctions d’une variable, Arithmetic of higher-dimensional algebraic varieties (Palo Alto, CA, 2002) (Progress in Mathematics), Volume 226, Birkhäuser, 2004, pp. 121-134 | DOI | MR | Zbl
[4] Dualité et principe local-global pour les tores sur une courbe au-dessus de , Proc. Lond. Math. Soc., Volume 110 (2015) no. 6, pp. 1475-1516 | DOI | MR | Zbl
[5] Infinite abelian groups. Vol. I, Pure and Applied Mathematics, 36, Academic Press Inc., 1970, xi+290 pages | MR | Zbl
[6] Méthode des fibrations et obstruction de Manin, Duke Math. J., Volume 75 (1994) no. 1, pp. 221-260 | DOI | MR | Zbl
[7] Le défaut d’approximation forte pour les groupes algébriques commutatifs, Algebra Number Theory, Volume 2 (2008) no. 5, pp. 595-611 | DOI | MR | Zbl
[8] Weak approximation for tori over -adic function fields, Int. Math. Res. Not. (2015) no. 10, pp. 2751-2783 | DOI | MR | Zbl
[9] Local-global questions for tori over -adic function fields, J. Algebr. Geom., Volume 25 (2016) no. 3, pp. 571-605 | DOI | MR | Zbl
[10] Abstract harmonic analysis. Vol. I. Structure of topological groups, integration theory, group representations, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 115, Springer, 1979, ix+519 pages | MR | Zbl
[11] Basic theory of algebraic groups and Lie algebras, Graduate Texts in Mathematics, 75, Springer, 1981, viii+267 pages | MR | Zbl
[12] Théorèmes de dualité pour les corps de fonctions sur des corps locaux supérieurs, Math. Z., Volume 284 (2016) no. 1-2, pp. 615-642 | DOI | MR | Zbl
[13] Principe local-global pour les corps de fonctions sur des corps locaux supérieurs II, Bull. Soc. Math. Fr., Volume 145 (2017) no. 2, pp. 267-293 | DOI | MR | Zbl
[14] Principe de Hasse cohomologique, Séminaire de Théorie des Nombres, Paris, 1989–90 (Progress in Mathematics), Volume 102, Birkhäuser, 1992, pp. 121-140 | DOI | MR | Zbl
[15] Applications of weight-two motivic cohomology, Doc. Math., Volume 1 (1996), pp. 395-416 | MR | Zbl
[16] Abelian varieties over -adic ground fields, Ann. Math., Volume 62 (1955), pp. 92-119 | DOI | MR | Zbl
[17] Arithmetic duality theorems, BookSurge, 2006, viii+339 pages | MR | Zbl
[18] Groupe de Brauer et arithmétique des groupes algébriques linéaires sur un corps de nombres, J. Reine Angew. Math., Volume 327 (1981), pp. 12-80 | DOI | MR | Zbl
[19] Corps locaux, Publications de l’Université de Nancago, VIII, Hermann, 1968, 245 pages | MR | Zbl
[20] Cohomologie galoisienne, Lecture Notes in Mathematics, 5, Springer, 1994, x+181 pages | DOI | MR | Zbl
[21] Torsors and rational points, Cambridge Tracts in Mathematics, 144, Cambridge University Press, 2001, viii+187 pages | DOI | MR | Zbl
Cited by Sources: