Résolution d'équations aux dérivées partielles dans des espaces de distributions d'ordre de régularité variable

Unterberger, André

Annales de l'Institut Fourier, Volume 21 (1971) no. 2, pp. 85-128.

The aim of this paper is to prove theorems of the following kind: “Let $P$ be a differential operator on ${\mathbf{R}}^n$, $\rho$ a $C^{\infty }$ real valued function, $k$ a real number, and $u$ a distribution with compact support: then, if $Pu\in H^{\rho }$, $u\in H^{\rho +k}$”; the space $H^{\rho }$ is the Sobolev space “of variable order” associated with $\rho$; of course, some hypotheses about $P$, $\rho$ and $k$ are needed. The following cases are discussed:

1) some operators with variable coefficients already considered in Chapter VIII of L. Hörmander’s book;

2) the operators with constant coefficients in 2 variables, $\rho$ being convex on the characteristic lines of $P$;

3) the operators with constant coefficients of which F. Trèves $L^2$ inequalities are valid. Results on solvability in the space of all distributions, new in some cases, follow from these theorems.

L’objet de cet article est de prouver des théorèmes du genre suivant : “Soient $P$ un opérateur différentiel sur ${\mathbf{R}}^n$, $\rho$ une fonction $C^{\infty }$ à valeurs réelles, $k$ un nombre réel et $u$ une distribution à support compact : alors, si $Pu\in H^{\rho }$, $u\in H^{\rho +k}$” ; l’espace $H^{\rho }$ est ici l’espace de Sobolev “d’ordre variable” associé à $\rho$ ; bien entendu, il faut des hypothèses sur $P$, $\rho$ et $k$. Les cas traités sont :

1) certains opérateurs à coefficients variables déjà considérés dans le chapitre VIII du livre de L. Hörmander ;

2) tous les opérateurs à coefficients constants en deux variables, avec des fonctions $\rho$ convexes sur les droites caractéristique de $P$ ;

3) les opérateurs à coefficients constants sur $R^n$ pour lesquels existent des inégalités $L^2$ “à la F. Trèves”. On déduit de ces théorèmes des résultats de résolubilité dans $D^{\prime }$, nouveaux dans certains cas.

[1] J. Bokobza et A. Unterberger, Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, t. 260, 1965, p. 3265-3267, et t. 261, 1965, p. 2271-2273. | Zbl

[2] L. Hormander, Linear Partial Differential Operators, Springer-Verlag, 1964.

[3] L. Hormander, On the Singularities of solutions of partial differential equations, Comm. on Pure and Appl. Math., XXIII, 329-358 (1970). | MR | Zbl

[4] F. John, Plane Waves and Spherical Means applied to Partial. Differential Equations, Interscience Tracts, New York, 1955. | MR | Zbl

[5] B. Malgrange, Sur la propagation de la régularité des solutions des équations à coefficients constants, Bull. Math. Soc. Sci. Math. Phys. R.P. Roumanie 3 (53), 433-440 (1959). | MR | Zbl

[6] F. Treves, Linear Partial Differential Equations with constant coefficients, Gordon & Breach, New York, 1966. | MR | Zbl

[7] F. Treves, Cours sur les Équations aux Dérivées Partielles Linéaires, École Normale Supérieure, Paris, 1967.

[8] F. Treves, Linear partial differential equations, Gordon and Breach, New York, 1970. | MR | Zbl