Les auteurs reprennent deux notes aux C.R. étudiant (en s’inspirant du cas plan simplement connexe traité par Evans) les lignes de Green (trajectoires orthogonales des lignes ou surfaces ) et certaines applications. Mais au lieu de se placer dans l’espace euclidien à , ils font la théorie dans des espaces plus généraux, comprenant les surfaces classiques de Riemann, des variétés analogues non orientables et les espaces localement euclidiens à . On examine surtout parmi ces espaces ceux qui sont pourvus d’une “fonction de Green” et on les appelle espaces de Green ou greeniens. On étend le problème de Dirichlet “ordinaire” à un sous-domaine greenien de en utilisant comme topologie , celle de pourvu d’un point d’Alexandroff s’il n’est compact. Grâce à quelques notions sur le potentiel de Green, on étudie les lignes de Green dans issues du pôle . Presque toutes (au sens de la mesure angulaire (ou d’angle solide) de départ, dite mesure de Green à un facteur près) admettent pour la borne inférieure sans rencontrer de zéro de grad et ont une limite pour . Aux points d’un ensemble de la frontière de aboutissent des lignes de Green dont la mesure de Green vaut la mesure harmonique de en . Cela permet de traiter des extensions du problème de Dirichlet où la frontière est obtenue par complétion à partir d’une métrique convenable dans (problème ramifié ou géodésique). Car elles permettent de vérifier deux conditions fondamentales qui, dans une étude axiomatique de la question, suffisent à étendre les raisonnements du cas classique un peu améliorés. La mesure de Green permet aussi certaines applications par majoration ; citons pour les fonctions holomorphes bornées des extensions de théorèmes (Montel, etc.) sur la nullité ou la convergence à partir de ces propriétés sur une partie de la frontière (remplacées ici par des conditions-limite sur les lignes d’un faisceau de lignes de Green dans une surface de Riemann greenienne).
@article{AIF_1951__3__199_0, author = {Brelot, Marcel and Choquet, Gustave}, title = {Espaces et lignes de {Green}}, journal = {Annales de l'Institut Fourier}, pages = {199--263}, publisher = {Imprimerie Durand}, address = {Chartres}, volume = {3}, year = {1951}, doi = {10.5802/aif.38}, mrnumber = {16,34e}, zbl = {0046.32701}, language = {fr}, url = {http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.38/} }
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Brelot, Marcel; Choquet, Gustave. Espaces et lignes de Green. Annales de l'Institut Fourier, Volume 3 (1951), pp. 199-263. doi : 10.5802/aif.38. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.38/
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. —Cited by Sources: