Espaces harmoniques sans potentiel positif

Anandam, Victor

Annales de l'Institut Fourier, Tome 22 (1972) no. 4, pp. 97-160.

Dans cet article on étudie les fonctions surharmoniques dans un espace $\Omega$ muni de la théorie axiomatique des fonctions harmoniques avec les axiomes 1, 2, 3 de M. Brelot, en supposant que les constantes sont harmoniques dans $\Omega$ et qu’il n’existe pas de potentiel $>0$ dans $\Omega$. Ainsi, dans la théorie axiomatique, on se propose de chercher à étendre les particularités du cas plan et quelques résultats sur les surfaces de Riemann du type parabolique. On démontre premièrement, en utilisant une notion de flux à l’infini introduite par M. Nakai dans le cas axiomatique, que dans $\Omega$ pour tout $x$ il existe une fonction surharmonique dans $\Omega$ de support $x$. Alors, on a été amené à approfondir dans ce cas les notions de flux, d’un ensemble localement polaire, de balayage bien connues dans le cas plan. Ensuite on introduit la notion de fonctions harmoniques à l’infini comme fonctions harmoniques et bornées au voisinage du point à l’infini ; cela conduit à une notion de dimension harmonique à l’infini dans la théorie axiomatique qui fournit d’importants compléments.

In this article, starting with the axioms 1,2,3 of Brelot in the axiomatic potential theory with constants harmonic, one studies the properties of super harmonic functions when there does not exist any potential $>0$ in the space $\Omega$. Thus in the axiomatic case, the theory is developed to include the special features of the potential theory in the plane and some particular results from the parabolic Riemann surfaces. On using the notion of flux at infinity introduced by Nakai in the axiomatic case, first it is proved that for every $x$ in $\Omega$ there exists a superharmonic function in $\Omega$ with support $x$. Then, some well-known notions in the potential theory in the plane like flux, case. The notion of functions harmonic at infinity is introduced, as being functions harmonic and bounded in a neighborhood of the point at infinity; this leads to the notion of harmonic dimension at infinity in the axiomatic case which has many important consequences.

[1] L. Ahlfors et L. Sario, Riemann surfaces, Princeton, (1960). | MR | Zbl

[2] H. Bauer, Propriétés fines des fonctions hyperharmoniques dans une théorie axiomatique du potentiel, Ann. Inst. Fourier, Grenoble t. 15/1 (1965), 137-154. | Numdam | MR | Zbl

[3] M. Brelot, Fonctions sousharmoniques et balayage, Bull. Ac. royale de Belgique, t. XXIV (1938), 421-436. | JFM | Zbl

[4] M. Brelot, Sur le rôle du point à l'infini dans la théorie des fonctions harmoniques. Ann. Ec. Norm. Sup., t. 61 (1944), 301-332. | Numdam | MR | Zbl

[5] M. Brelot, Étude des fonctions sousharmoniques au voisinage d'un point singulier. Ann. Inst. Fourier, Grenoble, t. 1 (1949), 121-156. | Numdam | MR | Zbl

[6] M. Brelot, Éléments de la théorie classique du potentiel. 4e édition, C.D.U., Paris (1969).

[7] M. Brelot, Lectures on potential theory. T.I.F.R., Bombay, 1960 (re-issued 1967). | Zbl

[8] M. Brelot, Axiomatique des fonctions harmoniques. Cours d'été 1965, Montréal, Les Presses de l'Université (1966). | Zbl

[9] M. Brelot et G. Choquet, Espaces et lignes de Green, Ann. Inst. Fourier, t. 3 (1951), 199-263. | Numdam | MR | Zbl

[10] C. Constantinescu et A. Cornea, On the axiomatic of harmonic functions I. Ann. Inst. Fourier, t. 13/2 (1963), 377-388. | Numdam | MR | Zbl

[11] A. Cornea, C.R. Acad. Sc. Paris, t. 264 A (1970), 190. | Zbl

[12] M. Heins, The conformal mapping of simply-connected Riemann surfaces, Ann. of Math., t. 50 (1949), 686-690. | MR | Zbl

[13] M. Heins, Riemann surfaces of infinite genus. Ann. of Math., t. 55 (1952), 296-317. | MR | Zbl

[14] Mme R. M. Hervé, Recherches axiomatiques sur la théorie des fonctions surharmoniques et du potentiel, Ann. Inst. Fourier, t. 12 (1962), 415-571. | Numdam | MR | Zbl

[15] P. A. Loeb, An axiomatic treatment of pairs of elliptic differential équations, Ann. Inst. Fourier, t. 16/2 (1966), 167-208. | Numdam | MR | Zbl

[16] B. Rodin et L. Sario, Principal functions. Van Nostrand, 1968. | MR | Zbl

[17] B. Walsh, Flux in axiomatic Potential Theory I. Inventiones Math. t. 8/3 (1969). | MR | Zbl