La théorie des espaces fonctionnels à nullité 1 et le problème de Neumann sur les espaces harmoniques

On introduit les espaces fonctionnels dans lesquels l’opérateur potentiel satisfait au principe semi-complet du maximum si et seulement si la contraction module opère. Un tel espace fonctionnel sur la frontière de Martin d’un espace harmonique symétrique de Brelot est envisagé à l’aide du noyau $\Theta$ de Naïm. Il est isomorphe à l’espace de Dirichlet des fonctions harmoniques. L’opérateur potentiel $P$ de cet espace donne la solution du problème de Neumann. On introduit l’espace de Dirichlet des fonctions harmoniques hors d’un compact $K$, et montre le principe du minimum : une fonction surharmonique $s$ hors de $K$ dont la partie harmonique a l’intégrale de Dirichlet finie est positive si $liminfs\ge 0$ sur $\partial K$ et si sa dérivée normale à la frontière est positive (au sens que nous préciserons). Nous construisons le noyau-fonction de Neumann dont l’opérateur potentiel s’écrit $N=G-HP\frac{\partial }{\partial n}G$ avec l’opérateur potentiel de Green. $HP\frac{\partial }{\partial n}G$ est compact et d’après le principe du minimum ci-dessus $N$ satisfait au principe semi-complet du maximum. La résolvante markovienne de $N$ sera donnée en utilisant le théorème de l’indice.

We shall introduce the functional spaces where the potential operator satisfies the semi-complete maximum principle if and only if the module contraction operates. Such a functional space on the Martin boundary of a symmetric Brelot’s harmonic space in investigated with the help of Naim’s $\Theta$-kernel. This is isomorphic to the Dirichlet space of harmonic functions. The potential operator $P$ of this functional space gives the solution of Neumann problem. We shall introduce the Dirichlet space of functions that are harmonic out of a compact set $K$, and shall show the following minimum principle: a superharmonic function $s$ out $K$ whose harmonic part has a finite Dirichlet integral is positive if $liminf\ge 0$ on $\partial K$ and if its normal derivative at the boundary is positive (in the sense which we will precise later). We construct the kernel-function of Neumann whose potential operator is written by the form $N=G-HP\frac{\partial }{\partial n}G$, where $G$ is the Green operator. $HP\frac{\partial }{\partial n}G$ is compact and $N$ satisfies the semi-complete maximum principle, which we can see from the above-cited minimum principle. By using the index theorem we give the markovian resolvent of $N$.

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