Unités et classes dans les extensions métabéliennes de degré n s sur un corps de nombres algébriques
Annales de l'Institut Fourier, Tome 31 (1981) no. 1, pp. 39-62.

Soit N une extension cyclique -primaire d’un corps de nombres K. On suppose que N est métabélienne sur un sous-corps H d’indice n dans K, pour un n étranger à  ; on note G son groupe de Galois de T un relèvement dans G du quotient Gal(K/H). On étudie la structure galoisienne des groupes de -classes de N et on s’intéresse en particulier à leurs ψ-composantes, lorsque ψ parcourt le groupe des caractères -adiques irréductibles de T. Le choix d’un générateur convenable θ dans l’idéal d’augmentation de l’algèbre Z [ Gal (N/K)] permet de mettre en évidence que les écarts entre les ordres respectifs de ces composantes s’expriment très simplement à l’aide des nombres de ψ-classes invariantes et des ψ-parties du nombre de genres de l’extension N/K. On détermine donc ces quantités et on montre enfin comment les indices d’unités qui interviennent dans la formule obtenue gouvernent directement la -structure galoisienne du groupe des unités de N.

Let N be a cyclic -extension of a number field K. We suppose that N is normal over a subfield H of K, with metabelian Galois group. We study the Galois structure of the -class groups of N and especially the ψ-eigenspaces of these groups, for every -adic character of Gal(K/H). By choosing a convenient generator θ in the augmentation ideal of the group ring Z [ Gal (N/K)], we prove that the difference between the orders of two ψ-components is directly connected with ψ-parts of the genus number and of the ambiguous class number of N/K. So, we compute these quantities and show how the unit indices, which appear in the class number formula, are related with the Galois module structure of the unit group.

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Jaulent, Jean-François. Unités et classes dans les extensions métabéliennes de degré $n\ell ^s$ sur un corps de nombres algébriques. Annales de l'Institut Fourier, Tome 31 (1981) no. 1, pp. 39-62. doi : 10.5802/aif.816. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.816/

[1] T. Callahan, The 3-class of non Galois cubic fields, Mathematika, 21 (1974). | MR | Zbl

[2] C. Chevalley, Sur la théorie du corps de classes dans les corps finis et les corps locaux, J. of the Fac. of Sc., Tokyo, t. 2 (1933). | JFM

[3] F. Gerth Iii, On l-class group of certain number fields, Mathematika, 23 (1976). | Zbl

[4] R. Gillard, Zl-extensions, fonctions Lp-adiques et unités cyclotomiques, Séminaire de Théorie des nombres, Bordeaux (1976-1977). | Zbl

[5] G. Gras, Nombre de ϕ-classes invariantes. Application aux classes des corps abéliens, Bull. Soc. Math. France, 106 (1978), 337-364. | Numdam | MR | Zbl

[6] G. Gras, Sur les l-classes d'idéaux des extensions non galoisiennes de Q de degré premier impair l, à clôture galoisienne diédrale de degré 2l, J. Math. Soc. Japan, t. 26, n° 4 (1974). | MR | Zbl

[7] F. Halter-Koch, Einheiten und Divisorenklassen in Galois'schen algebraischen Zahlkörpern mit Diedergruppe der Ordnung 2l für eine ungerade Primzahl l, Acta Arithmetica, 33 (1977). | MR | Zbl

[8] K. Iimura, A criterion for the class number of a pure quintic field to be divisible by 5, J. angew. Math., t. 292 (1977). | MR | Zbl

[9] J.F. Jaulent, Structures galoisiennes dans les extensions métabéliennes, Thèse, 3ème cycle, Besançon (1979).

[10] W. Jehne, Uber die Einheiten und Divisorenklassengruppe von reellen Frobeniuskörpern von Maximaltyp, Math. Zeit., 152 (1977), 223-252. | MR | Zbl

[11] S. Kobayashi, On the l-class rank in some algebraic number field, J. Math. Soc. Japan, t. 26 (1974). | MR | Zbl

[12] N. Moser et F. Halter-Koch, Sur le nombre de classes de certaines extensions métacycliques sur Q ou sur un corps quadratique imaginaire, J. Math. Soc. Japan, t. 90 (1978). | MR | Zbl

[13] C.J. Parry, Class number relations in pure quintic fields, Symposia Mathematica, t. 15 (1975). | MR | Zbl

[14] C.D. Walter, A class number relation in Frobenius extensions of number fields, Acta Arithmetica, t. 24 (1977).

[15] C.D. Walter, Brauer's class number relation, Acta Arithmetica, t. 35 (1979). | MR | Zbl

[16] C.D. Walter, The ambiguous class group and the genus group of certain non-normal extensions, Mathematica, 26 (1979), 113-124. | MR | Zbl

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