Soit un corps. Nous déterminons les sous-groupes finis de dont le cardinal n’est pas divisible par la caractéristique de , à conjugaison près. Dans le cas où est séparablement clos, nous montrons (via des arguments de la théorie des représentations des groupes finis) que deux sous-groupes isomorphes de sont conjugués. Nous obtenons le même résultat pour les sous-groupes finis irréductibles de . L’extension du cas séparablement clos au cas rationnel repose naturellement sur la cohomologie galoisienne. Plus précisément, nous calculons le premier groupe de cohomologie galoisienne du centralisateur de dans le en question, modulo l’action du normalisateur. Les résultats obtenus ici dans le cas semisimple simplement connexe sont différents des résultats déjà connus dans le cas du groupe adjoint . Enfin, nous déterminons le corps de définition d’un tel sous-groupe fini de , c’est-à-dire le corps minimal , tel que et tel que le groupe fini s’injecte dans .
Let is a field. We determine the finite subgroups of of cardinality prime to the characteristic of , up to conjugacy. When is separably closed, using representation theory of finite groups we show that isomorphic subgroups of are conjugate. We show this also for irreducible finite subgroups of . The extension of the separably closed to the rational case is naturally based on Galois cohomology: we compute the first Galois cohomology group of the centralizer of in the SL, modulo the action of the normalizer. The results we obtain here in the semisimple simply connected case are different than those already known in the case of the adjoint group . Finally, we determine the field of definition of such a finite subgroup of , that is, the minimal field with such that the finite group embeds in .
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Classification : 14G05, 14G27, 14G25, 14E08
Mots clés : Galois cohomology, , , algebraic classification, rational classification, representation theory
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TY - JOUR AU - Flicker, Yuval Z. TI - Conjugacy classes of finite subgroups of $\protect \mathrm{SL}(2,F)$, $\protect \mathrm{SL}(3,\protect \bar{F})$ JO - Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux PY - 2019 DA - 2019/// SP - 555 EP - 571 VL - 31 IS - 3 PB - Société Arithmétique de Bordeaux UR - http://archive.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.1094/ UR - https://doi.org/10.5802/jtnb.1094 DO - 10.5802/jtnb.1094 LA - en ID - JTNB_2019__31_3_555_0 ER -
Flicker, Yuval Z. Conjugacy classes of finite subgroups of $\protect \mathrm{SL}(2,F)$, $\protect \mathrm{SL}(3,\protect \bar{F})$. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 31 (2019) no. 3, pp. 555-571. doi : 10.5802/jtnb.1094. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.1094/
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