Conjugacy classes of finite subgroups of $\mathrm{SL}(2,F)$, $\mathrm{SL}(3,\overline{F})$

Flicker, Yuval Z.

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 31 (2019) no. 3, pp. 555-571.

Let $F$ is a field. We determine the finite subgroups $G$ of $\mathrm{SL}(2,F)$ of cardinality $\left|G\right|$ prime to the characteristic of $F$, up to conjugacy. When $F=\overline{F}$ is separably closed, using representation theory of finite groups we show that isomorphic subgroups of $\mathrm{SL}(2,F)$ are conjugate. We show this also for irreducible finite subgroups of $\mathrm{SL}(3,\overline{F})$. The extension of the separably closed to the rational case is naturally based on Galois cohomology: we compute the first Galois cohomology group of the centralizer $C$ of $G$ in the SL, modulo the action of the normalizer. The results we obtain here in the semisimple simply connected case are different than those already known in the case of the adjoint group $\mathrm{PGL}\left(2\right)$. Finally, we determine the field of definition of such a finite subgroup $G$ of $\mathrm{SL}(2,\overline{F})$, that is, the minimal field $F_1$ with $\overline{F_1}=\overline{F}$ such that the finite group $G$ embeds in $\mathrm{SL}(2,F_1)$.

Soit $F$ un corps. Nous déterminons les sous-groupes finis $G$ de $\mathrm{SL}(2,F)$ dont le cardinal $\left|G\right|$ n’est pas divisible par la caractéristique de $F$, à conjugaison près. Dans le cas où $F=\overline{F}$ est séparablement clos, nous montrons (via des arguments de la théorie des représentations des groupes finis) que deux sous-groupes isomorphes de $\mathrm{SL}(2,F)$ sont conjugués. Nous obtenons le même résultat pour les sous-groupes finis irréductibles de $\mathrm{SL}(3,\overline{F})$. L’extension du cas séparablement clos au cas rationnel repose naturellement sur la cohomologie galoisienne. Plus précisément, nous calculons le premier groupe de cohomologie galoisienne du centralisateur $C$ de $G$ dans le $\mathrm{SL}$ en question, modulo l’action du normalisateur. Les résultats obtenus ici dans le cas semisimple simplement connexe sont différents des résultats déjà connus dans le cas du groupe adjoint $\mathrm{PGL}\left(2\right)$. Enfin, nous déterminons le corps de définition d’un tel sous-groupe fini $G$ de $\mathrm{SL}(2,\overline{F})$, c’est-à-dire le corps minimal $F_1$, tel que $\overline{F_1}=\overline{F}$ et tel que le groupe fini $G$ s’injecte dans $\mathrm{SL}(2,F_1)$.

Classification: 14G05,  14G27,  14G25,  14E08
Keywords: Galois cohomology, $\mathrm{SL}(2,F)$, $\mathrm{SL}(3,F)$, algebraic classification, rational classification, representation theory

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