On eigenvalues of the kernel $\protect \frac{1}{2} +\protect \lfloor \protect \frac{1}{xy}\protect \rfloor - \protect \frac{1}{xy}$

Watt, Nigel

doi:10.5802/jtnb.1099

On eigenvalues of the kernel

\frac{1}{2} + ⌊ \frac{1}{x y} ⌋ - \frac{1}{x y}

Watt, Nigel ¹

¹ 45 Charles Way Limekilns, Fife, KY11 3LH, United Kingdom

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 31 (2019) no. 3, pp. 653-662.

Résumé
Abstract

Nous montrons que le noyau $K (x, y) = \frac{1}{2} + ⌊ \frac{1}{x y} ⌋ - \frac{1}{x y}$ ( $0 < x, y \leq 1$ ) possède une infinité de valeurs propres positives et une infinité de valeurs propres négatives. Notre intérêt pour ce noyau est motivé par l’apparition de la forme quadratique $\sum_{m = 1}^{N} μ (m) \sum_{n = 1}^{N} μ (n) K (m / N, n / N)$ dans une identité pour la fonction de Mertens.

We show that the kernel $K (x, y) = \frac{1}{2} + ⌊ \frac{1}{x y} ⌋ - \frac{1}{x y}$ ( $0 < x, y \leq 1$ ) has infinitely many positive eigenvalues and infinitely many negative eigenvalues. Our interest in this kernel is motivated by the appearance of the quadratic form $\sum_{m = 1}^{N} μ (m) \sum_{n = 1}^{N} μ (n) K (m / N, n / N)$ in an identity involving the Mertens function.

Reçu le : 2018-11-07
Révisé le : 2019-04-12
Accepté le : 2019-09-28
Publié le : 2020-05-06

DOI : 10.5802/jtnb.1099

Classification : 11A25, 45C05, 11A07
Mots clés : Mertens function, eigenvalue, symmetric kernel

Affiliations des auteurs :

Watt, Nigel ¹

¹ 45 Charles Way Limekilns, Fife, KY11 3LH, United Kingdom

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TY  - JOUR
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JO  - Journal de théorie des nombres de Bordeaux
PY  - 2019
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Watt, Nigel. On eigenvalues of the kernel $\protect \frac{1}{2} +\protect \lfloor \protect \frac{1}{xy}\protect \rfloor - \protect \frac{1}{xy}$. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 31 (2019) no. 3, pp. 653-662. doi : 10.5802/jtnb.1099. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.1099/

Bibliographie
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Cité par Sources :