Quand seule la sous-somme vide est nulle modulo ${p}$

Deshouillers, Jean-Marc

doi:10.5802/jtnb.574

Quand seule la sous-somme vide est nulle modulo

p

Deshouillers, Jean-Marc ¹

¹ Institut de Cognitique Université Victor Segalen Bordeaux 2 33076 BORDEAUX Cedex (France) et A2X, UMR 5465 Université Bordeaux 1 et CNRS 33405 TALENCE Cedex (France)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 19 (2007) no. 1, pp. 71-79.

Résumé
Abstract

Soit $c > 1$ , $p$ un nombre premier et $𝒜$ une partie de $ℤ / p ℤ$ de cardinal supérieur à $c \sqrt{p}$ telle que pour tout sous-ensemble non vide $ℬ$ de $𝒜$ , on a $\sum_{b \in ℬ} b \neq 0$ . On montre qu’il existe $s$ premier à $p$ tel que l’ensemble $s . 𝒜$ est très concentré autour de l’origine et qu’il est presque entièrement composé d’éléments de partie fractionnaire positive. Plus précisément, on a

\sum_{a \in 𝒜} ∥\frac{s a}{p}∥ < 1 + O (p^{- 1 / 4} ln p) et \sum_{\begin{matrix} a \in 𝒜, \\ {s a / p} \geq 1 / 2 \end{matrix}} ∥\frac{s a}{p}∥ = O (p^{- 1 / 4} ln p) .

On montre également que les termes d’erreurs ne peuvent être remplacés par $o (p^{- 1 / 2})$ .

Let $c > 1$ , $p$ be a prime number and $𝒜$ a subset of $ℤ / p ℤ$ with cardinality larger than $c \sqrt{p}$ and such that for any non empty subset $ℬ$ of $𝒜$ , one has $\sum_{b \in ℬ} b \neq 0$ . We show that there exists $s$ coprime with $p$ such that the set $s . 𝒜$ is very concentrated around the origin, and that it is almost exclusively composed of elements with a positive fractional part. More precisely, one has

\sum_{a \in 𝒜} ∥\frac{s a}{p}∥ < 1 + O (p^{- 1 / 4} ln p) and \sum_{\begin{matrix} a \in 𝒜, \\ {s a / p} \geq 1 / 2 \end{matrix}} ∥\frac{s a}{p}∥ = O (p^{- 1 / 4} ln p) .

We also show that the error terms cannot be replaced by $o (p^{- 1 / 2})$ .

MR Zbl

DOI : 10.5802/jtnb.574

Affiliations des auteurs :

Deshouillers, Jean-Marc ¹

¹ Institut de Cognitique Université Victor Segalen Bordeaux 2 33076 BORDEAUX Cedex (France) et A2X, UMR 5465 Université Bordeaux 1 et CNRS 33405 TALENCE Cedex (France)

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Deshouillers, Jean-Marc. Quand seule la sous-somme vide est nulle modulo ${p}$. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 19 (2007) no. 1, pp. 71-79. doi : 10.5802/jtnb.574. https://www.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.574/

Bibliographie
Cité par

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[2] Deshouillers J-M., Freiman G. A., When subset-sums do not cover all the residues modulo $p$ . J. Number Theory 104 (2004), 255–262. | MR | Zbl

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Cité par Sources :