Quand seule la sous-somme vide est nulle modulo $p$

Deshouillers, Jean-Marc

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 19 (2007) no. 1, pp. 71-79.

Let $c>1$, $p$ be a prime number and $𝒜$ a subset of $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ with cardinality larger than $c\sqrt{p}$ and such that for any non empty subset $ℬ$ of $𝒜$, one has ${\sum }_{b\in ℬ}b\ne 0$. We show that there exists $s$ coprime with $p$ such that the set $s.𝒜$ is very concentrated around the origin, and that it is almost exclusively composed of elements with a positive fractional part. More precisely, one has

$$\sum _{a\in 𝒜}∥\frac{sa}{p}∥<1+O(p^{-1/4}lnp)\text{and}\sum _{\begin{array}{c}a\in 𝒜,\\ \{sa/p\}\ge 1/2\end{array}}∥\frac{sa}{p}∥=O(p^{-1/4}lnp).$$

We also show that the error terms cannot be replaced by $o\left(p^{-1/2}\right)$.

Soit $c>1$, $p$ un nombre premier et $𝒜$ une partie de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ de cardinal supérieur à $c\sqrt{p}$ telle que pour tout sous-ensemble non vide $ℬ$ de $𝒜$, on a ${\sum }_{b\in ℬ}b\ne 0$. On montre qu’il existe $s$ premier à $p$ tel que l’ensemble $s.𝒜$ est très concentré autour de l’origine et qu’il est presque entièrement composé d’éléments de partie fractionnaire positive. Plus précisément, on a

$$\sum _{a\in 𝒜}∥\frac{sa}{p}∥<1+O(p^{-1/4}lnp)\text{et}\sum _{\begin{array}{c}a\in 𝒜,\\ \{sa/p\}\ge 1/2\end{array}}∥\frac{sa}{p}∥=O(p^{-1/4}lnp).$$

On montre également que les termes d’erreurs ne peuvent être remplacés par $o\left(p^{-1/2}\right)$.

[1] Deshouillers J-M., A lower bound concerning subset sums which do not cover all the residues modulo $p$. Hardy-Ramanujan J. 28 (2005), 30–34. | MR | Zbl

[2] Deshouillers J-M., Freiman G. A., When subset-sums do not cover all the residues modulo $p$. J. Number Theory 104 (2004), 255–262. | MR | Zbl

[3] Erdős P., Heilbronn H., On the addition of the residue classes $\text{mod}p$. Acta Arith. IX (1964), 149–159. | MR | Zbl

[4] Olson J. E., An addition theorem modulo $p$. J. Combin. Theory 5 (1968), 45–52. | MR | Zbl

[5] Ould Hamidoune Y., Zémor G., On zero sum-free sets. Acta Arith. LXXVIII (1996), 143–152. | MR | Zbl