Cohomology of integer matrices and local-global divisibility on the torus

Illengo, Marco

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 20 (2008) no. 2, pp. 327-334.

Let $p\ne 2$ be a prime and let $G$ be a $p$-group of matrices in ${\mathrm{SL}}_n\left(\mathbb{Z}\right)$, for some integer $n$. In this paper we show that, when $n<3(p-1)$, a certain subgroup of the cohomology group $H^1(G,{𝔽}_p^n)$ is trivial. We also show that this statement can be false when $n\ge 3(p-1)$. Together with a result of Dvornicich and Zannier (see [2]), we obtain that any algebraic torus of dimension $n<3(p-1)$ enjoys a local-global principle on divisibility by $p$.

Soient $p\ne 2$ un nombre premier et $G$ un $p$-groupe de matrices dans ${\mathrm{SL}}_n\left(\mathbb{Z}\right)$, pour un nombre entier $n$. Dans cet article nous montrons que, pour $n<3(p-1)$, un certain sous-groupe du groupe de cohomologie $H^1(G,{𝔽}_p^n)$ est trivial. Nous montrons aussi que cette affirmation peut être fausse pour $n\ge 3(p-1)$. Avec un résultat de Dvornicich et Zannier (voir [2]), nous obtenons que le principe local-global de divisibilité pour $p$ vaut pour tout tore algébrique de dimension $n<3(p-1)$.

[1] J. W. S. Cassels, An introduction to the Geometry of Numbers. Springer, 1997. | MR | Zbl

[2] R. Dvornicich, U. Zannier, Local-global divisibility of rational points in some commutative algebraic groups. Bull. Soc. Math. France 129 (2001), no. 3, 317–338. | Numdam | MR | Zbl

[3] R. Dvornicich, U. Zannier, On a local-global principle for the divisibility of a rational point by a positive integer. Bull. London Math. Soc. 39 (2007), 27–34. | MR | Zbl

[4] J.-P. Serre, Représentations linéaires des groupes finis. Hermann, 1967. | MR | Zbl