About the Galois relation
Let be a field of characteristic . The existence of an irreducible polynomial over whose roots satisfy the linear relation exclusively depends on the pair where and is the stabilizer of one root. The regular case () is now well understood. In the present paper, we consider the primitive case ( maximal subgroup of ) and show that we can’t find this linear relation when the pair is primitive of a degree .
An appendix of Joseph Oesterlé shows that we can find this relation for any pair in which divides the order of .
L’existence d’un polynôme , irréductible sur un corps de caractéristique et dont trois racines vérifient la relation linéaire , ne dépend que de la paire de groupes finis où et est le fixateur d’une racine. Le cas régulier () est désormais assez bien décrit. On démontre dans ce texte que pour de nombreuses paires primitives ( sous-groupe maximal de ) et en particulier pour toutes celles de degré , la relation n’est pas réalisable.
En appendice, Joseph Oesterlé démontre que cette relation linéaire est réalisable pour la paire dès que divise l’ordre de .
@article{JTNB_2010__22_3_661_0, author = {Lalande, Franck}, title = {A propos de la relation galoisienne $x_1=x_2+x_3$}, journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux}, pages = {661--673}, publisher = {Universit\'e Bordeaux 1}, volume = {22}, number = {3}, year = {2010}, doi = {10.5802/jtnb.738}, zbl = {1254.12007}, mrnumber = {2769337}, language = {fr}, url = {http://archive.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.738/} }
TY - JOUR AU - Lalande, Franck TI - A propos de la relation galoisienne $x_1=x_2+x_3$ JO - Journal de théorie des nombres de Bordeaux PY - 2010 SP - 661 EP - 673 VL - 22 IS - 3 PB - Université Bordeaux 1 UR - http://archive.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.738/ DO - 10.5802/jtnb.738 LA - fr ID - JTNB_2010__22_3_661_0 ER -
Lalande, Franck. A propos de la relation galoisienne $x_1=x_2+x_3$. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 22 (2010) no. 3, pp. 661-673. doi : 10.5802/jtnb.738. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.738/
[1] J. D. Dixon, Polynomials with relations between their roots. Acta Arithmetica 82.3 (1997), 293–302. | MR | Zbl
[2] J. D. Dixon, Permutation representations and rationnal irreducibility. Bull. Austral. Math. Soc. 71 (2005), 493–503. | MR | Zbl
[3] The GAP Group, GAP–Groups, Algorithms, and Programming. Version 4.4.11 (2008) (http ://www.gap-system.org).
[4] K. Girstmair, Linear relations between roots of polynomials. Acta Arithmetica 89.1 (1999), 53–96. | MR | Zbl
[5] K. Girstmair, The Galois relation and Fermat over finite fields. Acta Arithmetica 124.4 (2006), 357–370. | MR | Zbl
[6] K. Girstmair, The Galois relation for finite simple groups. Acta Arithmetica 127.3 (2007), 301–303. | MR | Zbl
[7] F. Lalande, Relations linéaires entre les racines d’un polynôme et anneaux de Schur. Ann. Sci. Math. Québec 27.2 (2003), 169–175. | MR | Zbl
[8] F. Lalande, La relation linéaire entre les racines d’un polynôme. J. Théorie des Nombres de Bordeaux 19 (2007), 473–484. | Numdam | MR | Zbl
Cited by Sources: