Torsors under tori and Néron models

Bright, Martin

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 23 (2011) no. 2, pp. 309-321.

Soit $R$ un anneau de valuation discrète hensélien et $K$ son corps des fractions. Si $X$ est une variété lisse sur $K$ et $G$ un tore sur $K$, on considère les torseurs sur $X$ sous $G$. Soit $𝒳/R$ un modèle de $X$ ; en utilisant un résultat de Brahm, on montre que les torseurs sur $X$ sous $G$ se prolongent aux torseurs sur $𝒳$ sous un modèle de Néron de $G$ si $G$ est scindé par une extension modérément ramifiée de $K$. On déduit que l’application d’évaluation associée à un tel torseur se factorise par la réduction à la fibre spéciale. On peut ainsi étudier l’arithmétique de $X$ en utilisant la géométrie de la fibre spéciale.

Let $R$ be a Henselian discrete valuation ring with field of fractions $K$. If $X$ is a smooth variety over $K$ and $G$ a torus over $K$, then we consider $X$-torsors under $G$. If $𝒳/R$ is a model of $X$ then, using a result of Brahm, we show that $X$-torsors under $G$ extend to $𝒳$-torsors under a Néron model of $G$ if $G$ is split by a tamely ramified extension of $K$. It follows that the evaluation map associated to such a torsor factors through reduction to the special fibre. In this way we can use the geometry of the special fibre to study the arithmetic of $X$.

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