Variations sur un théorème de Stone-Von Neumann

Nier, Francis

Journées mathématiques X-UPS, Heisenberg et son groupe (2018), pp. 27-86.

Ce texte sur le théorème de Stone-Von Neumann qui, historiquement, a été motivé par la synthèse des deux actes fondateurs de la mécanique quantique, par Heisenberg d’une part et par Schrödinger d’autre part. Nous donnons une démonstration complète du théorème et nous présentons ensuite la quantification des transformations linéaires symplectiques. Outre son aspect fondamental pour la mécanique quantique, le théorème de Stone-Von Neumann a eu de nombreuses conséquences dans le développement des mathématiques du xx^e siècle et ce jusqu’à aujourd’hui. Nous appuyant sur des éléments de la démonstration du théorème, nous évoquerons notamment ses incidences dans le domaine de l’analyse.

[1] Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. Foundations of mechanics, Benjamin/Cummings Publishing Co., Inc., Reading, Mass., 1978

[2] Arnold, V. I. On a characteristic class entering into conditions of quantization, Funkcional. Anal. i Priložen., Volume 1 (1967), pp. 1-14 | DOI | MR | Zbl

[3] Arnold, V. I. Mathematical methods of classical mechanics, Graduate Texts in Math., 60, Springer-Verlag, New York, 1989 | DOI

[4] Beals, Richard A general calculus of pseudodifferential operators, Duke Math. J., Volume 42 (1975), pp. 1-42 | MR | Zbl

[5] Beals, Richard; Fefferman, Charles Spatially inhomogeneous pseudodifferential operators. I, Comm. Pure Appl. Math., Volume 27 (1974), pp. 1-24 | DOI | MR | Zbl

[6] Bony, J.-M.; Lerner, N. Quantification asymptotique et microlocalisations d’ordre supérieur. I, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), Volume 22 (1989) no. 3, pp. 377-433 | DOI | Numdam | Zbl

[7] Born, M. Optik. Ein Lehrbuch der Elektromagnetischen Lichttheorie, Springer, 1933 | DOI

[8] Born, M.; Jordan, P.; Heisenberg, W. Zur Quantenmechanik. II, Zeitschrift für Physik, Volume 35 (1926) no. 8, pp. 557-615 | DOI | Zbl

[9] Boutet de Monvel, L.; Guillemin, V. The spectral theory of Toeplitz operators, Annals of Math. Studies, 99, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1981

[10] Boutet de Monvel, L.; Krée, Paul Pseudo-differential operators and Gevrey classes, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), Volume 17 (1967) no. fasc. 1, pp. 295-323 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[11] Boutet de Monvel, L.; Sjöstrand, J. Sur la singularité des noyaux de Bergman et de Szegő, Journées : Équations aux dérivées partielles (Rennes, 1975) (Astérisque), Volume 34-35, Société Mathématique de France, Paris, 1976, pp. 123-164 | Zbl

[12] Brillouin, L. La mécanique ondulatoire de Schrödinger ; une méthode générale de résolution par approximations successives, C. R. Acad. Sci. Paris, Volume 183 (1926), pp. 24-26 | Zbl

[13] Chazarain, Jacques; Piriou, Alain Introduction à la théorie des équations aux dérivées partielles linéaires, Gauthier-Villars, Paris, 1981

[14] Dereziński, Jan; Gérard, Christian Scattering theory of classical and quantum $N$-particle systems, Texts and Monographs in Physics, Springer-Verlag, Berlin, 1997 | DOI

[15] Egorov, Ju. V. The canonical transformations of pseudodifferential operators, Uspekhi Mat. Nauk, Volume 24 (1969) no. 5, pp. 235-236 | MR

[16] Fefferman, Charles L. The uncertainty principle, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), Volume 9 (1983) no. 2, pp. 129-206 | DOI | MR | Zbl

[17] Guillemin, Victor; Sternberg, Shlomo Symplectic techniques in physics, Cambridge University Press, Cambridge, 1990

[18] Helffer, Bernard; Nourrigat, Jean Hypoellipticité maximale pour des opérateurs polynômes de champs de vecteurs, Progress in Math., 58, Birkhäuser, Boston, MA, 1985

[19] Hérau, Frédéric; Hitrik, Michael; Sjöstrand, Johannes Tunnel effect for Kramers-Fokker-Planck type operators, Ann. Henri Poincaré, Volume 9 (2008) no. 2, pp. 209-274 | DOI | MR | Zbl

[20] Hitrik, Michael; Sjöstrand, Johannes Two minicourses on analytic microlocal analysis, Algebraic and analytic microlocal analysis (Springer Proc. Math. Stat.), Volume 269, Springer, Cham, 2018, pp. 483-540 | DOI | MR | Zbl

[21] Hörmander, Lars Hypoelliptic second order differential equations, Acta Math., Volume 119 (1967), pp. 147-171 | DOI | MR | Zbl

[22] Hörmander, Lars Fourier integral operators. I, Acta Math., Volume 127 (1971) no. 1-2, pp. 79-183 | DOI | MR

[23] Hörmander, Lars Linear differential operators, Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970), Tome 1, Gauthier-Villars, Paris, 1971, pp. 121-133 https://www.mathunion.org/fileadmin/ICM/Proceedings/ICM1970.1/ICM1970.1.ocr.pdf | Zbl

[24] Hörmander, Lars The analysis of linear partial differential operators. I–IV, Classics in Math., Springer-Verlag, Berlin, 2009 | DOI

[25] Kashiwara, M.; Schapira, P. Sheaves on manifolds, Grundlehren Math. Wiss., 292, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1990 | DOI

[26] Kirillov, A. A. Unitary representations of nilpotent Lie groups, Uspekhi Mat. Nauk, Volume 17 (1962) no. 4 (106), pp. 57-110 | MR | Zbl

[27] Kohn, J. J.; Nirenberg, L. An algebra of pseudo-differential operators, Comm. Pure Appl. Math., Volume 18 (1965), pp. 269-305 | DOI | MR | Zbl

[28] Kramers, H. A. Wellenmechanik und halbzahlige Quantisierung, Zeitschrift für Physik, Volume 39 (1926) no. 10, pp. 828-840 | DOI | Zbl

[29] Leray, Jean Problème de Cauchy. I. Uniformisation de la solution du problème linéaire analytique de Cauchy près de la variété qui porte les données de Cauchy, Bull. Soc. math. France, Volume 85 (1957), pp. 389-429 | DOI | Numdam | Zbl

[30] Leray, Jean Analyse lagrangienne et mécanique quantique, Séminaire sur les Équations aux dérivées partielles (1976–1977), I, Collège de France, Paris, 1977, pp. 1-313 (Exp. No. 1)

[31] Lerner, Nicolas Metrics on the phase space and non-selfadjoint pseudo-differential operators, Pseudo-Differential Operators. Theory and Applications, 3, Birkhäuser, Basel, 2010 | DOI

[32] Lion, Gérard; Vergne, Michèle The Weil representation, Maslov index and theta series, Progress in Math., 6, Birkhäuser, Boston, Mass., 1980 | DOI

[33] Mumford, David Tata lectures on theta. I, II, III, Modern Birkhäuser Classics, Birkhäuser, Boston, MA, 2007

[34] von Neumann, J. Die Eindeutigkeit der Schrödingerschen Operatoren, Math. Ann., Volume 104 (1931), pp. 570-578 | DOI | Zbl

[35] Poincaré, H. Sur les groupes des équations linéaires, Acta Math., Volume 4 (1884), pp. 201-312 | DOI | Zbl

[36] Pukánszky, L. Leçons sur les représentations des groupes, Monographies de la Société Mathématique de France, 2, Dunod, Paris, 1967

[37] Ramis, J.-P. Séries divergentes et théories asymptotiques, Séries divergentes et procédés de resommation (Journées X-UPS), Les Éditions de l’École polytechnique, Palaiseau, 1991, pp. 1-73

[38] Rockland, Charles Hypoellipticity on the Heisenberg group-representation-theoretic criteria, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 240 (1978), pp. 1-52 | DOI | MR | Zbl

[39] Rothschild, Linda Preiss; Stein, E. M. Hypoelliptic differential operators and nilpotent groups, Acta Math., Volume 137 (1976) no. 3-4, pp. 247-320 | DOI | MR | Zbl

[40] Sato, Mikio Regularity of hyperfunctions solutions of partial differential equations, Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970), Tome 2, Gauthier-Villars, Paris, 1971, pp. 785-794 https://www.mathunion.org/fileadmin/ICM/Proceedings/ICM1970.2/ICM1970.2.ocr.pdf | Zbl

[41] Schiffmann, O. Algèbre de Heisenberg et espaces de Fock, Heisenberg et son groupe (Journées X-UPS), Les Éditions de l’École polytechnique, Palaiseau, 2018 (ce volume) | MR | Zbl

[42] Schrödinger, E. An Undulatory theory of the mechanics of atoms and molecules, Phys. Rev., Volume 28 (1926), pp. 1049-1070 | DOI | Zbl

[43] Siegel, Carl Ludwig Symplectic geometry, Amer. J. Math., Volume 65 (1943), pp. 1-86 | DOI | MR | Zbl

[44] Sjöstrand, Johannes Singularités analytiques microlocales, Astérisque, 95, Société Mathématique de France, Paris, 1982, pp. 1-166 | Numdam

[45] Stone, M. H. Linear transformations in Hilbert space. III. Operational methods and group theory, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., Volume 16 (1930) no. 2, pp. 172-175 | DOI | Zbl

[46] Unterberger, A. Encore des classes de symboles, Séminaire Goulaouic-Schwartz (1977/1978), École Polytechnique, Palaiseau, 1978 (Exp. No. 6) | Numdam | Zbl

[47] Unterberger, André; Bokobza, Juliane Les opérateurs de Calderon-Zygmund précisés, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B, Volume 259 (1964), pp. 1612-1614 | Zbl

[48] Voros, A. An algebra of pseudodifferential operators and the asymptotics of quantum mechanics, J. Functional Analysis, Volume 29 (1978) no. 1, pp. 104-132 | DOI | MR | Zbl

[49] Weil, André Sur certains groupes d’opérateurs unitaires, Acta Math., Volume 111 (1964), pp. 143-211 | DOI | Zbl

[50] Wentzel, Gregor Eine Verallgemeinerung der Quantenbedingungen für die Zwecke der Wellenmechanik, Zeitschrift für Physik, Volume 38 (1926) no. 6, pp. 518-529 | DOI | Zbl