Une généralisation du problème de Cauchy

Hille, Einar

Annales de l'Institut Fourier, Tome 4 (1952), pp. 31-48.

L’objet de la note est l’étude d’un problème de Cauchy pour l’équation fonctionnelle : $y^{\left(n\right)}\left(t\right)=U^n\left[y\right(t\left)\right]$, $t<0$, avec $y^{\left(k\right)}\left(t\right)\to y_k$, $k=0,1,...,n-1$, quand $l\to 0$. On suppose que la solution et les données $\left\{y_k\right\}$ sont des éléments d’un espace $\left(B\right)$, $U$ est un opérateur linéaire de domaine $D\left[U\right]\subset X$, les dérivées et les limites sont prises au sens fort. Une solution est du type normal si $t^{-1}\log \parallel y^{(n-1)}\left(t\right)\parallel$ reste borné quant $t\to \infty$. On montre que le problème admet au plus une solution du type normal pour n’importe quelles données dans $X$, si $U$ est clos et ses valeurs propres ne sont pas denses dans aucun demi-plan droit.

Si $n=1$, si $U$ est clos et si le problème admet une solution du type normal restreint, $y(t,y_0)$, pour chaque $y_0\in D\left[U\right]$, alors $U$ engendre un semi-groupe $T\left(t\right)$, fortement continu, et $y(t,y_0)=T\left(t\right)\left[y_0\right]$. Si $n=2$ et si $U$ et $-U$ engendrent des semi-groupes fortement continus à $t=0$, ceux-ci forment un groupe, la solution du problème de Cauchy existe pour $y_0\in D[U^2]$, $y_1\in D\left[U\right]\cap R\left[U\right]$ et s’exprime en moyen de $T\left(t\right)$ et $T(-t)$. Si $n>2$, le problème général ne semble pas être résoluble et il faut le remplacer par un problème réduit avec un nombre $m<n$ des conditions initiales. Si $U$ engendre un semi-groupe $T\left(t\right)$ analytique dans un secteur, ${\theta }_1<\arg t<{\theta }_2$, et continu sur la frontière, on peut prendre $m$ égale au nombre de racines d’unité d’ordre $n$ dans le secteur fermé et on exprime la solution du problème réduit en moyen des valeurs de $T\left(t\right)$ sur les rayons contenant les racines d’unité.

[1] Hille. Functional Analysis and Semi-Groups. American Mathematical Society, Colloquium Lectures XXXI, New-York, 1948. | MR | Zbl

[2] Hille. On the Generation of Semi-Groups and the Theory of Conjugate Functions. Proc. R. Physiographical Society, Lund, t. 21, n° 14, 1951, 130-142. | MR | Zbl

[3] Hille. A Note on Cauchy's Problem. Annales de la Société Polonaise de Mathématiques, t. 25, 1952, 13 p. | MR | Zbl